求幂运算、多项式乘法及Horner法则的应用

一，两种不同的求幂运算

求解x^n（x 的 n 次方）

①使用递归，代码如下：

private static long pow(int x, int n){
if(n == 0)
return 1;
if(n == 1)
return x;
if(n % 2 == 0)
return pow(x * x, n / 2);
else
return pow(x * x, n / 2) * x;
}

分析：

每次递归，使得问题的规模减半。2到6行操作的复杂度为O(1)，第7行pow函数里面的x*x操作复杂度为O(1)

故时间复杂度公式：T(N)=T(N/2)+O(1) => T(N)=O(logN)

②普通方式求幂

private static long pow2(int x, int n){
if(x == 0)
return 0;//0^n == 0
long p = 1;
for(int i = 0; i < n; i++)
p *= x;
return p;
}

显然，时间复杂度为O(N)

二，求解多项式乘法

公式：f(x,n) = a(0)x^0 + a(1)x^1 + a(2)x^2+...+a(n)x^n

比如：f(10,4)=a(0)10^0 + a(1)10^1 + a(2)10^2 + a(3)10^3+a(4)10^4

代码如下：

public static long poly(int[] arr, int x, int n){
long sum = 0;
for(int i = 0; i <= n; i++){
sum += arr[i] * pow(x, i);
}
return sum;
}

private static long pow(int x, int n){
if(n == 0)
return 1;
if(n == 1)
return x;
if(n % 2 == 0)
return pow(x * x, n / 2);
else
return pow(x * x, n / 2) * x;
}

Horner法则求解多项式乘法，参考：

public static long poly2(int[] arr, int x, int n){//arr存储系数, x 表示基数, n 表示幂
long poly = 0;
for(int i = n; i >= 0; i--)
poly = poly * x + arr[i];
return poly;
}

对比采用Horner法则计算多项式乘法与这篇文章： 字符串转换成数字

public int atoi(char[] s){
int result = 0;
for(int i = 0; i < s.length; i++)
result = result * 10 + s[i] - '0';// 相当于 poly2(...)中的 x=10
return result;
}

可以看出，二者有很大的相似性。其实，不难看出，字符串转换成数字使用的正是Horner法则。

由此，得到启发，在进制转换中，如：八进制转十进制，相当于 x = 8。

故可写出一个常用的进制转换程序，如下：

//x 表示进制, 若x=8,表示将8进制转换成10进制
public static long convert(char[] arr, int x){
long result = 0;
for(int i = 0; i < arr.length; i++)
result = result * x + arr[i] - '0';
return result;
}

//str 表示原来进制的数,如：convert("456", 8) 456 --> 302
public static long convert2(String str, int x){
long result = 0;
for(int i = 0; i < str.length(); i++)
result = result * x + Integer.valueOf(str.charAt(i) - '0');
return result;
}

十六进制转十进制，相当于 x = 16。

public static long convert2(String str, int x){//x = 16
long result = 0;
char c;
str = str.toUpperCase();//"abF8"-->"ABF8"
for(int i = 0; i < str.length(); i++)
{
c = str.charAt(i);
if(c >= 'A' && c <= 'F')
result = result * x + (c - 'A') + 10;
else
result = result * x + c - '0';
}
return result;
}

因此，进制转换、字符串转换成数字、多项式求值都可以使用Horner法则来求解。