【追求进步】数组中的逆序对

题目描述

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。

思路：

解题思路：

第一种：直接求解

顺序扫描整个数组。每扫描到一个数字的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有 n 个数字。由于每个数字都要和 O(n）个数字作比较， 因此这个算法的时间复杂度是 O(n^2)。

第二种：分析法

我们以数组｛7, 5, 6, 4｝为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不能拿它和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是 O(n^5)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

如图 5.1 ( a )和图 5.1 ( b）所示，我们先把数组分解成两个长度为 2 的子数组， 再把这两个子数组分别拆分成两个长度为 1 的子数组。接下来一边合并相邻的子数组， 一边统计逆序对的数目。在第一对长度为 1 的子数组｛7｝、｛5｝中7 大于 5 ， 因此（7, 5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为 1 的子数组｛6｝、｛4｝中也有逆序对（6, 4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组排序（ 图 5.1 ( c）所示），以免在以后的统计过程中再重复统计。

注：图中省略了最后一步， 即复制第二个子数组最后剩余的 4 到辅助数组中。

(a) P1 指向的数字大于 P2指向的数字，表明数组中存在逆序对。P2 指向的数字是第二个子数组的第二个数字， 因此第二个子数组中有两个数字比 7 小． 把逆序对数目加 2，并把 7 复制到辅助数组，向前移动 P1 和 P3。

(b) P1 指向的数字小子 P2 指向的数字，没有逆序对。把 P2 指向的数字复制到辅助数组，并向前移动 P2 和 P3 。

(c) P1 指向的数字大于 P2 指向的数字，因此存在逆序对。由于 P2 指向的数字是第二个子数组的第一个数字，子数组中只有一个数字比 5 小． 把逆序对数目加 1，并把 5 复制到辅助数组，向前移动 P1 和 P3。

接下来我们统计两个长度为 2 的子数组之间的逆序对。我们在图 5.2 中细分图 5.1 ( d）的合并子数组及统计逆序对的过程。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个子数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数（如图 5.2 (a)和图 5.2 (c)所示）。如果第一个数组中的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对（如图 5.2 (b)所示〉。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从·后往前复制到一个辅助数组中去，确保辅助数组中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

经过前面详细的诗论， 我们可以总结出统计逆序对的过程：先把数组分隔成子数组， 先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序贺，法很熟悉，我们不难发现这个排序的过程实际上就是归并排序。

在线代码：

public class Solution {
public int InversePairs(int [] array) {
/*
第一种方法：初步的想法即就是顺序扫描整个数组，每扫描到一个数字的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小
这种方法的时间复杂度就是o(n平方)
*/
/*
第二种方法：分析法
我们先把数组分解成两个长度为 2 的子数组， 再把这两个子数组分别拆分成两个长度为 1 的子数组。接下来一边合并
相邻的子数组， 一边统计逆序对的数目。在第一对长度为 1 的子数组｛7｝、｛5｝中7 大于 5 ， 因此（7, 5）组
成一个逆序对。同样在第二对长度为 1 的子数组｛6｝、｛4｝中也有逆序对（6, 4）。由于我们已经统计了这两对子数
组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组排序（ 图 5.1 ( c）所示），以免在以后的统计过程中再重复统计。
*/
if(array==null||array.length<1){
return 0;
}
int copy[]=new int[array.length];
System.arraycopy(array,0,copy,0,array.length);//将array数组赋值给copy数组
return InversePairsCore(array,copy,0,array.length-1);
}
public int InversePairsCore(int []data,int []copy,int start,int end){
if(start==end){
copy[start]=data[start];
return 0;
}
int length=(end-start)/2;//中间的元素
//前半段递归
int left=InversePairsCore(copy,data,start,start+length);
//后半段递归
int right=InversePairsCore(copy,data,start+length+1,end);
//前半段最后一个的元素的坐标
int i=start+length;
//后半段最后一个元素的坐标
int j=end;
//开始拷贝的数字下标
int indexcopy=end;
//统计逆序数
int count=0;
while(i>=start&&j>=start+length+1){//循环结束的条件
if(data[i]>data[j]){//存在逆序对
copy[indexcopy]=data[i]; //将i对应的元素拷贝到复制数组中
indexcopy--;//复制数组下标减1
i--;//i指针向前移动
count+=j-(start+length);//累加逆序对的数目
}else{
copy[indexcopy]=data[j];
indexcopy--;
j--;
}
}
for(;i>=start;i--){
copy[indexcopy]=data[i];
indexcopy--;
i--;
}
for(;j>=start+length+1;j--){
copy[indexcopy]=data[j];
indexcopy--;
j--;
}
return count + left + right;
}
}