51nod 1225 余数之和 数论

1225 余数之和

题目连接：

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1225

Description

F(n) = (n % 1) + (n % 2) + (n % 3) + ...... (n % n)。其中%表示Mod，也就是余数。

例如F(6) = 6 % 1 + 6 % 2 + 6 % 3 + 6 % 4 + 6 % 5 + 6 % 6 = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3。

给出n，计算F(n), 由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果即可。

Input

输入1个数N(2 <= N <= 10^12)。

Output

输出F(n) Mod 1000000007的结果

Sample Input

6

Sample Output

3

Hint

题意

题解：

余数 = n - n/i*i

很显然n/i只会有n的因子个数那么多

而且n/i在连续的一段区间内都是一样的。

这个用一个等差序列去维护i就好了

然后就可以在sqrtn的复杂度解决这道题了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
long long quickpow(long long  m,long long n,long long k)//返回m^n%k
{
long long b = 1;
while (n > 0)
{
if (n & 1)
b = (b*m)%k;
n = n >> 1 ;
m = (m*m)%k;
}
return b;
}
long long mul(long long a,long long b)
{
if(a>=mod)a%=mod;
if(b>=mod)b%=mod;
a=a*b;
if(a>=mod)a%=mod;
return a;
}
int main()
{
long long n;
cin>>n;
long long ans=0;
for(int i=1;i<=sqrt(n);i++)
{
if(n/i==i)
{
long long temp=n/i*i;
ans=(ans+n-temp+mod)%mod;
continue;
}
long long r=n/i;
long long l=n/(i+1)+1;
long long num=mul(mul(mul((r+l),quickpow(2,mod-2,mod)),(r-l+1)),i);
//cout<<mul(n,r-l+1)<<" "<<num<<" "<<i<<" "<<r<<" "<<l<<endl;
ans=(ans+mul(n,r-l+1)-num+mod)%mod;
ans=(ans+n-mul(n/(n/i),(n/i))+mod)%mod;
}
cout<<ans<<endl;
}