数学(GCD,计数原理)HDU 5656 CA Loves GCD
2016-04-03 22:23
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CA Loves GCD
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问题描述
CA喜欢是一个热爱党和人民的优秀同♂志,所以他也非常喜欢GCD(请在输入法中输入GCD得到CA喜欢GCD的原因)。 现在他有N个不同的数,每次他会从中选出若干个(至少一个数),求出所有数的GCD然后放回去。 为了使自己不会无聊,CA会把每种不同的选法都选一遍,CA想知道他得到的所有GCD的和是多少。 我们认为两种选法不同,当且仅当有一个数在其中一种选法中被选中了,而在另外一种选法中没有被选中。
输入描述
第一行 T,表示有 T 组数据。 接下来 T 组数据,每组数据第一行一个整数 N,表示CA的数的个数,接下来一行 N 个整数 Aii 表示CA的每个数。 1≤T≤50, 1≤N≤1000, 1≤Ai≤10001 \le T \le 50,~1 \le N \le 1000,~1 \le A_i \le 10001≤T≤50, 1≤N≤1000, 1≤Ai≤1000
输出描述
对于每组数据输出一行一个整数表示CA所有的选法的GCD的和对 100000007 取模的结果。
输入样例
2 2 2 4 3 1 2 3
输出样例
8 10 所有数据∈[1,1000]
这次的BestCoder没打,从没见过这么难的第二题。
我们令dp[i][j]表示在前i个数中,选出若干个数使得它们的gcd为j的方案数,于是只需要枚举第i+1个数是否被选中来转移就可以了。
令第i+1个数为v,当考虑dp[i][j]的时候,我们令dp[i+1][j] += dp[i][j],dp[i+1][gcd(j,v)] += dp[i][j]
复杂度O(N*MaxV) MaxV 为出现过的数的最大值。
其实有O(MaxV *log(MaxV))的做法,我们考虑记f[i]表示从这些数中选择若干个数,使得他们的gcd是i的倍数的方案数。假如有K个数是i的倍数,则f[i]=2K-1,再用g[i]表示从这些数中选择若干个数,使得他们的gcd是i的方案数,则g[i]=f[i] - Σ(j是i的倍数)g[j] 。
由调和级数可以得到复杂度为O(MaxV *log(MaxV))
还是挺巧妙的!
TLE的DP(MB卡常数):
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; const int maxn=1010; const int mod=100000007; int dp[maxn][maxn],a[maxn]; int Gcd(int a,int b){ return b?Gcd(b,a%b):a; } int main(){ int T,n,maxv; scanf("%d",&T); while(T--){ memset(dp,0,sizeof(dp)); scanf("%d",&n);maxv=0; for(int i=1;i<=n;maxv=max(maxv,a[i]),i++) scanf("%d",&a[i]); for(int i=0;i<=n;i++)dp[i][0]=1; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=0;j<=maxv;j++)dp[i][j]=dp[i-1][j]; for(int j=0;j<=maxv;j++) (dp[i][Gcd(j,a[i])]+=dp[i-1][j])%=mod; } int ans=0; for(int j=1;j<=maxv;j++) (ans+=dp [j]*j)%=mod; printf("%d\n",ans); } return 0; }
第二种方法的AC程序:
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; const int maxn=1010; const int mod=100000007; long long f[maxn],g[maxn],ans; int main(){ int T,n; scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d",&n); memset(f,0,sizeof(f)); for(int i=1,x;i<=n;i++){ scanf("%d",&x); for(int j=1;j<=x;j++){ if(x%j==0) f[j]++; } } for(int i=1;i<=1000;i++){ long long ret=1; for(int j=1;j<=f[i];j++) (ret*=2)%=mod; ret-=1; f[i]=ret; } for(int i=1000;i>=1;i--){ g[i]=f[i]; for(int j=2*i;j<=1000;j+=i) (g[i]-=g[j])%=mod; } ans=0; for(int i=1;i<=1000;i++) (ans+=g[i]*i)%=mod; printf("%lld\n",(ans+mod)%mod); } return 0; }
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