HUD 4704 Sum 费马小定理和快速幂

给定s(k)为k的划分数

求划分数的个数

比如当n=4时候

s（1）=（4）…………………………1

s（2）=（2,2）（1,3）（3,1）………3

s（3）=（1,1,2）（1,2,1）（2,1,1）……3

s（4）=（1,1,1,1）……………………1

所以是1+3+3+1=8

多列几个会发现要求的是2^(n-1)

然后1<=n<10^100000太大了会爆

这时候有个定理叫 费马小定理

费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么
a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

在这里a=2，p=mod=1e9+7 刚好是一个质数

费马小定理怎么使用呢？

n=m+p  

a^(n-1)%p=a^(m+p-1)%p

                   =(a^m*a^(p-1))%p

                   =(a^m%p)*(a^(p-1)%p)

                   =a^m%p

所以发现对于n来说mod-1是它的一个循环节我们可以对大数n取余处理然后在快速幂就好了

ACcode:

#include <map>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
long long fpow(long long b){
long long  a=2;
long long  ans=1;
while(b){
if(b&1)///判断奇偶性if(b%2==1)
ans=(ans*a)%mod;
a=(a*a)%mod;
b=b>>1;
}
return ans;
}
int main(){
char s[1000000];
while(~scanf("%s",s)){
long long n=0;
int len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;++i)
n=(n*10+(s[i]-'0'))%(mod-1);///mod-1为循环节
// cout<<num<<'\12';
if(n==0)n=mod-1;
printf("%I64d\n",fpow(n-1));
}
return 0;
}