20160326】十分基础的数论,顺手把球缺体积公式扔这儿
2016-03-26 11:46
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球缺体积公式:π/3*(3r-h)*r^2
毕竟下午要滚走不考试 干脆中午就直接把笔记码了【顺便这电脑的NM键灵敏度我给满分
讲了线性筛,费马小,欧拉函数还有扩展共产党【大雾】扩展欧几里得
之前也就费马小定理和欧拉函数没怎么用过于是认真听了【
于是顺手把要一边加减乘除一边取模的运算方法扔上来
加和乘直接一边算一边取,如果要减的话注意可能会有负数,于是没事就+m再%m
至于除法……长的有点丑陋啊【哭着:要不我们直接求逆元?【似乎也不是不行来着】】
(a/b)%m=(a%(b*m))/b
虽然证明过然而就是记不住公式的某Flaze【摊手【【其实某种意义上这个公式也长得挺优美x
证明啥的……设a/b=km+f
∴a=kbm+fb
∴a%(b*m)=fb
于是就显然了orzorz
哦对 对于要爆精度又懒得写高精乘的东西,就可以用和快速幂同理的快速乘【虽然我觉得还是直接压一位比较优美的说【摊手
①费马小定理
费马小定理的证明也不是辣么难吧……(终于听懂了的莫感动得T地一声哭了出来
(当p为质数且a和p互质
a^(p-1)≡1 (mod p)
证明:
设有数列 {a%p, (2*a)%p, (3*a)%p... ((p-1)*a)%p}
∵ p为质数 ∴所有 i ∈[1, p-1] 都与p互质
∴ 这个数列的值域为 [1, p-1]
设存在 (i*a)%p==(j*a)%p
则有 a*(i-j)%p==0
又 a%p!=0
∴(i - j)%p==0
又有 i,j ∈[1, p-1]
∴ i==j
∴a%p, (2*a)%p, (3*a)%p... ((p-1)*a)%p 的取值两两不等,即分别为1~p-1
于是把她们全部乘起来【不要问为什么是“她”
得到
a^(p-1)*((p-1)!)≡(p-1)! (mod p)
再稍微约一下分,就是费马小定理了
顺手就可以再搞定逆元了
即,当a, p互质 在p的同余系下,有a的逆元=a^(p-2)
然而当a, p不互质,逆元什么的啊……一颗赛艇
哦对对对,费马小定理并不能用来证明p是素数【比如a=3 p=4的时候仍然满足上面那个式子但是4简直是质数咯【摊手
②欧拉定理
φ(p): 小于等于p且与p互质的正整数的个数。对于质数p显然有φ(p)=p-1; 于是假装费马小定理是欧拉定理的特殊情况。
而对于一个数b=p^k, 假装可以很简单地证明 φ(b)=p^k-p^(k-1) 【因为,与b不互质的数只有p的倍数,然后脑补一下就是这样了
于是,就有了
φ(b)=p^k-p^(k-1) (b=p^k, p is a prime)
然后老师用表情包证明(个ball)了欧拉函数是积性的【摊手
于是就有了当有任意整数n可以被分解为m个不同质数的(某次方)的积↓
n=p1^k1 * p2^l2 * p3^k3 * ... * pm^km;
则有, φ(n)=φ(p1^k1) * φ(p2^k2) * ... * φ(pm^km)
然后假装我们就证明了欧拉定理【感性理解一下x
a^φ(n)≡1 (mod n)
然后欧拉函数的某性质,感性证明一下
最后…………呃,关于扩展共产党【大雾】 ex_gcd的公式啊…………蒟蒻Flaze表示并背不了x【好吧其实背下来了【假装一下
x=y' , y=x' - (a/b) * y' ;
③解线性同余方程组
关于线性同余方程组啊……两个两个地搞♂呗x
x ≡ d1 mod m1
x ≡ d2 mod m2
x........
x ≡ dn mod mn
设 x=k1m1+d1, x=k2m2+d2
两式合并↓
k1m1+d1=k2m2+d2 即k1m1-k2m2=d2-d1
这不是很眼熟了嘛,用扩展欧几里得胡♂搞♂乱♂搞吧
于是求出k1之后,dx=k1m1+d1 mx=lcm(m1,m2)
于是两个就合并成了 x=dx mod mx 【证明我才不码了QuQ
最后………………数论的笔记简直码得我想…………恩……………………诶下节体育课 打排去了债见wwww
毕竟下午要滚走不考试 干脆中午就直接把笔记码了【顺便这电脑的NM键灵敏度我给满分
讲了线性筛,费马小,欧拉函数还有扩展共产党【大雾】扩展欧几里得
之前也就费马小定理和欧拉函数没怎么用过于是认真听了【
于是顺手把要一边加减乘除一边取模的运算方法扔上来
加和乘直接一边算一边取,如果要减的话注意可能会有负数,于是没事就+m再%m
至于除法……长的有点丑陋啊【哭着:要不我们直接求逆元?【似乎也不是不行来着】】
(a/b)%m=(a%(b*m))/b
虽然证明过然而就是记不住公式的某Flaze【摊手【【其实某种意义上这个公式也长得挺优美x
证明啥的……设a/b=km+f
∴a=kbm+fb
∴a%(b*m)=fb
于是就显然了orzorz
哦对 对于要爆精度又懒得写高精乘的东西,就可以用和快速幂同理的快速乘【虽然我觉得还是直接压一位比较优美的说【摊手
①费马小定理
费马小定理的证明也不是辣么难吧……(终于听懂了的莫感动得T地一声哭了出来
(当p为质数且a和p互质
a^(p-1)≡1 (mod p)
证明:
设有数列 {a%p, (2*a)%p, (3*a)%p... ((p-1)*a)%p}
∵ p为质数 ∴所有 i ∈[1, p-1] 都与p互质
∴ 这个数列的值域为 [1, p-1]
设存在 (i*a)%p==(j*a)%p
则有 a*(i-j)%p==0
又 a%p!=0
∴(i - j)%p==0
又有 i,j ∈[1, p-1]
∴ i==j
∴a%p, (2*a)%p, (3*a)%p... ((p-1)*a)%p 的取值两两不等,即分别为1~p-1
于是把她们全部乘起来【不要问为什么是“她”
得到
a^(p-1)*((p-1)!)≡(p-1)! (mod p)
再稍微约一下分,就是费马小定理了
顺手就可以再搞定逆元了
即,当a, p互质 在p的同余系下,有a的逆元=a^(p-2)
然而当a, p不互质,逆元什么的啊……一颗赛艇
哦对对对,费马小定理并不能用来证明p是素数【比如a=3 p=4的时候仍然满足上面那个式子但是4简直是质数咯【摊手
②欧拉定理
φ(p): 小于等于p且与p互质的正整数的个数。对于质数p显然有φ(p)=p-1; 于是假装费马小定理是欧拉定理的特殊情况。
而对于一个数b=p^k, 假装可以很简单地证明 φ(b)=p^k-p^(k-1) 【因为,与b不互质的数只有p的倍数,然后脑补一下就是这样了
于是,就有了
φ(b)=p^k-p^(k-1) (b=p^k, p is a prime)
然后老师用表情包证明(个ball)了欧拉函数是积性的【摊手
于是就有了当有任意整数n可以被分解为m个不同质数的(某次方)的积↓
n=p1^k1 * p2^l2 * p3^k3 * ... * pm^km;
则有, φ(n)=φ(p1^k1) * φ(p2^k2) * ... * φ(pm^km)
然后假装我们就证明了欧拉定理【感性理解一下x
a^φ(n)≡1 (mod n)
然后欧拉函数的某性质,感性证明一下
最后…………呃,关于扩展共产党【大雾】 ex_gcd的公式啊…………蒟蒻Flaze表示并背不了x【好吧其实背下来了【假装一下
x=y' , y=x' - (a/b) * y' ;
③解线性同余方程组
关于线性同余方程组啊……两个两个地搞♂呗x
x ≡ d1 mod m1
x ≡ d2 mod m2
x........
x ≡ dn mod mn
设 x=k1m1+d1, x=k2m2+d2
两式合并↓
k1m1+d1=k2m2+d2 即k1m1-k2m2=d2-d1
这不是很眼熟了嘛,用扩展欧几里得胡♂搞♂乱♂搞吧
于是求出k1之后,dx=k1m1+d1 mx=lcm(m1,m2)
于是两个就合并成了 x=dx mod mx 【证明我才不码了QuQ
最后………………数论的笔记简直码得我想…………恩……………………诶下节体育课 打排去了债见wwww
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