四只虫子问题

Andrew Zhang

Mar 24, 2016



解析：求解这道题目需要一点极坐标下简单的微积分知识即可。

一、向径与切线夹角关系

向径：曲线上点与原点连线。切线：曲线上该点切线。他们之间夹角正切有如下关系：

tanϕ=r(θ)r′(θ)(1)



证明如下

tanϕ=tan(α−θ)=tan(α)−tan(θ)1+tan(α)tan(θ)(2)

其中

tanα=dydx=(r(θ)sin(θ))′(r(θ)cos(θ))′=r′(θ)tan(θ)+r(θ)r′(θ)−r(θ)tan(θ)(3)

将3式带入2式即可得到1式。

二、对数螺旋线

对数螺旋线，数学上有一类特殊的曲线，数学表达形式为r(θ)=eaθ,θ∈[−∞,∞]。其中上图所示曲线就为对数螺旋线当a=0.5，θ属于[0，0.9π]时的图像。

对于对数螺旋线利用公式1可以发现

tanϕ=1a(4)

即对数螺旋线在任何一点的向径与切线夹角是定值arctan1a。

对于四只虫子问题，令虫子构成的正方形中心为原点的话会发现虫子在任何一点的向径与切线夹角为π4，即虫子轨迹为r(θ)=eθ。其他的虫子只需要将同样的轨迹分别旋转π2,π,3π2即可。四只虫子运行轨迹图如下



因此只需要根据初始虫子与中心的距离求出θ的上限进行积分求解即可(θ下限显然是负无穷)。

三、曲线积分

数学上的曲线积分公式

∫Lr(θ)=∫θ2θ1r(θ)1+r′(θ)2−−−−−−−−√dθ，带入公式求解即可得到每只虫子走过的路径长度。