求逆序对（复杂度为nlogn）

问题：

对于一个包含N个非负整数的数组A[1..n]，如果有i < j，且A[ i ]>A[ j ]，则称(A[ i] ,A[ j] )为数组A中的一个逆序对。

例如，数组（3，1，4，5，2）的逆序对有(3,1),(3,2),(4,2),(5,2)，共4个。

给定一个数组，求该数组中包含多少个逆序对。

要求时间复杂度为nlog(n)

算法分析：

这个题目十分的经典，是归并排序的一个完美应用，分治是其主要思想，具体可以概括假设f(i,j)为i到j号元素中的逆序对个数，取一个分割点k，假设s(i,j,k)表示以k为分割点，第一个元素在i到k中，第二个元素在k+1到j中形成的逆序对数。那么我们就得到一个递归式:f(i,j)=f(i,k)+f(k+1,j)+s(i,j,k)。很自然的与归并排序联系到了一起，对于更小规模的f可以递归求解，如果对于a数组的i到k以及k+1到j两个部分元素均为有序的情况，那么对于当a[j]<a[i]的情况，必然有a[j]<a[i..k]，即a[j]和i到k号元素都形成逆序对，此时只要将s(i,j,k)加上k-i+1就可以了（i到k之间的元素个数），这个过程很像归并排序的Merge的过程——比较当前i和j的状态并放入较小的。于是我们就得到了算法，和归并排序一起操作：外围设置一个计数器count，每次归并过程分为分割与合并两个部分，分割照常处理，在合并部分中的if
(a[i]>a[j]) b[++l]=a[++j];中加入一个计数过程，即cnt+=k-i+1。这样当排序完成后，统计也就完成了。

算法复杂度分析：

时间上因为是和归并排序一起处理，所以时间复杂度应该是O(nlogn)，同时因为是归并排序，所以还附加了O(n)的空间复杂度。

Input：

第一行，一个数字n，表示有n个数字。

第二行n个整数。

Output：

输出这n个整数组成的数组的逆序数。

</pre>代码：（c++)</p><p><span style="font-size:14px;"><strong></strong></span><pre name="code" class="cpp">#include <iostream>
using namespace std;

int merge (int A[], int begin, int mid, int end) {
static int count = 0;
int result[end - begin + 1];
int i = begin;
int j = mid + 1;
int k = 0;
while (i <= mid && j <= end) {
if (A[i] <= A[j]) {
result[k ++] = A[i ++];
}
else {
count += mid - i + 1;
result[k ++] = A[j ++];
}
}
while (j <= end)
result [k ++] = A[j ++];
while (i <= mid)
result[k ++] = A[i ++];
for (k = 0; k < end - begin + 1;k ++)
A[begin + k] = result[k];
return count;
}
/*
* 归并排序中调用merge函数
*/
int mergeSort(int a[], int begin, int end) {
int sum = 0;
if (begin < end) {
int mid = (begin + end)/2;
mergeSort (a, begin, mid);
mergeSort (a, mid + 1, end);
sum = merge (a, begin, mid, end);
}
return sum;
}

int main(int argc, char** argv) {
int n;
cin>>n;
int a
;
for(int i = 0; i < n; i++){
int m;
cin>>m;
a[i] = m;
}
int begin = 0, end = n - 1;
cout<<mergeSort(a, begin, end);
return 0;
}