某不知名的题 - 概率DP

两名玩家进行对战，P1拥有N点血量，P2用有M点血量。

两人均有一定概率可以打出1-6点上海，每次两名玩家进行对战的时候，伤害高的一方可以打掉伤害低的一方一点血量。

已知N,M以及两名玩家的攻击力概率。求P1是胜利的概率。

输入

多组输入，魅族输入两个整数N,M表示玩家的血量（1<=N,M<=2000）

随后输入两组浮点数每组6个浮点数，分别表示P1，P2打出1-6伤害的概率。

输出

对于每组输入输出P1的胜率（输入保留两位小数）

示例输入

5 5

1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00

示例输出

0.00

思路：我们用二维dp数组表示出p1的血量和p2的血量分别到达a和b的概率即dp[a][b]，这是我们假设p1和p2赢的概率为wp1和wp2，现在有状态转移方程

dp[a][b]=dp[a-1][b]*wp2+dp[a][b-1]*wp1

但是我们没有考虑到平局的情况，假设平局概率为f对于dp[a-1][b]到达dp[a][b]可能直接p2赢也可能平一局，也或许平3局所以

dp[a][b]=dp[a-1][b]*(wp2+f*wp2+f^2*wp2+...+f^n*wp2)+dp[a][b-1]*(wp1+f*wp1+f^2*wp1+...+f^n*wp1)

提出wp2剩余一个等比数列，由前n项和且f^n趋近于0可得前n项和为1/(1-f)

dp[a][b]=dp[a-1][b]*wp2/(1-f)+dp[a][b-1]*wp1/(1-f)

以上就是状态转移方程

我们最后只需要将dp[i][m](0<=i<=n-1)相加得到最终答案

注意：dp不能直接递推到dp[i][m]当p2到达m状态时p1已经获胜，不能继续递推到下个状态。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;

double dp[2010][2010];
int main()
{
double p1[7],p2[7];
int n,m;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
double wp1=0,wp2=0,f12=0;
for(int i=0;i<6;i++)
{
scanf("%lf",&p1[i]);
}
for(int i=0;i<6;i++)
{
scanf("%lf",&p2[i]);
}
for(int i=1;i<6;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++)
{
wp1 += p1[i]*p2[j];
}
}
for(int i=1;i<6;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++)
{
wp2 += p2[i]*p1[j];
}
}
for(int i=0;i<6;i++)
{
f12 += p1[i]*p2[i];
}
wp1/=(1-f12);
wp2/=(1-f12);
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i][0]=(dp[i-1][0]*wp2);
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
dp[0][i]=(dp[0][i-1]*wp1);
}
for(int i=1;i<n;i++)
{
for(int j=1;j<m;j++)
{
dp[i][j]=(dp[i-1][j]*wp2+dp[i][j-1]*wp1);
}
}
double ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
ans += dp[i][m-1]*(wp1);
}
printf("%.2lf\n",ans);
}
return 0;
}