51nod--1242 斐波那契数列第N项 (矩阵乘法优化)
2016-03-15 19:40
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题目:
1242 斐波那契数列的第N项基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 0 难度:基础题 收藏 关注
斐波那契数列的定义如下:
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …)
给出n,求F(n),由于结果很大,输出F(n) % 1000000009的结果即可。
Input
输入1个数n(1 <= n <= 10^18)。
Output
输出F(n) % 1000000009的结果。
Input示例
11
Output示例
89
分析:
一般我们数据小, 可以直接模拟递推过去, 这里 n 达到 10 ^ 18 很大, 时间, 空间都过不去了。需要优化。
我们可以发现 Fn = Fn-1 + Fn-2的;
Fn = 1 1 * Fn-1
Fn-1 0 1 Fn-2
由此可构造矩阵了优化了。
实现:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const LL MOD = 1000000009; struct Martix { LL data[2][2]; Martix() { for(int i = 0; i < 2; ++i) for(int j = 0; j <2; ++j) data[i][j] = 0; } Martix(int a, int b, int c, int d) { data[0][0] = a; data[0][1] = b; data[1][0] = c; data[1][1] = d; } Martix operator * (const Martix a) const { Martix tmp; for(int i = 0; i < 2; ++i) for(int j = 0; j <2; ++j) for(int k = 0; k < 2; ++k) tmp.data[i][j] = (tmp.data[i][j] + this->data[i][k] * a.data[k][j] % MOD) % MOD; return tmp; } void Print() { cout << "Ma : \n"; for(int i = 0; i < 2; ++i) { for(int j = 0; j < 2; ++j) cout << this->data[i][j] << " "; cout << endl; } } }; const Martix 4000 E = Martix(1,0,0,1); const Martix Be = Martix(1,1,1,0); Martix Ma_Pow(Martix a, LL n) { Martix ret = E; while(n) { if(n & 1) ret = ret * a; a = a * a; n >>= 1; } return ret; } int main() { LL n; while(cin >> n) { if (n == 0) cout << 0 <<endl; else if (n == 1) cout << 1 << endl; else { Martix ans = Ma_Pow(Be, n-1); cout << ans.data[0][0] <<endl; } } }
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