GDOI模拟 染色配对

题目大意

定义一个点的集合S为团，当且仅当对于任意S中的两个点，都有边直接连接。定义极大团表示这个集合是团，并且不存在另外一个团包含它。现在给定一副特殊的图，图中的每个点恰好属于两个极大团，给定每个点属于的两个极大团的编号，问这个图的最大匹配是多少，以及其中一种匹配方案。设图中有N个点，总共有M个极大团。

数据范围

N≤2∗105,M≤2∗104

题解

我们不妨将点看成边，将每个极大团看成一个点，那么对于一个点i，若他属于极大团a,b，我们就给a,b连上一条编号为i的边。之后我们都将极大团称为点。

对于一个联通块，设块中有Size条边，那么这个联通块的最大匹配的上界就是⌊Size2⌋，因为一个匹配需要两条边，接下来就是要找到一种算法使得这个连通块能达到上界，可以发现的是，原问题等价于我们给每条无向边确定一个方向，最后最大化入度为偶数的点的数量。

那么我们递归这个联通块，弄出一个Dfs树，对于一条反祖边或者树上的边(u,v)，我们可以强制使得这条边的方向就是v，最后再进行调整。设当前我们递归完u的子树，其中有cu条边指向了u，并且每条回到u的返祖边都已经确定了方向了。假如cu为偶数，那么我们已经达到目的了，不需要调整，假如cu为奇数，若u不是根节点，那么必然存在一条从父亲到u的边，我们可以将这条边反向，那么cu就变成偶数了。所以假如u不为根，我们总是能获得一种合法的方案使得cu为偶数。

那么对于一个连通块，假如原来有Size条边，Size为偶数，并且除根以外所有点入度均为偶数，那么根的入度也为偶数，贡献恰好为Size2，若Size为奇数，除根以外入度为偶数，但根无法调整，依然为奇数，但贡献依然恰好为⌊Size2⌋，因此这个算法是正确的。

最终若一条边i指向了点j，我们就将i塞入j的匹配列表中，输出答案时只需要将j的匹配列表中的点逐个匹配即可。

复杂度为O(M+N)。