BZOJ 1025: [SCOI2009]游戏 背包DP
2016-03-08 22:34
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1025: [SCOI2009]游戏
Description
windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字,都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1,2,3,……,N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。如此反复,直到序列再次变为1,2,3,……,N。 如: 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6 windy的操作如下 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 4 6 3 1 2 4 5 6 1 2 3 5 4 6 2 3 1 4 5 6 3 1 2 5 4 6 1 2 3 4 5 6 这时,我们就有若干排1到N的排列,上例中有7排。现在windy想知道,对于所有可能的对应关系,有多少种可能的排数。Input
包含一个整数,N。Output
包含一个整数,可能的排数。Sample Input
【输入样例一】3
【输入样例二】
10
Sample Output
【输出样例一】3
【输出样例二】
16
HINT
【数据规模和约定】100%的数据,满足 1 <= N <= 1000 。
Source
[b]题解:[/b]首先根据置换群可得
排数=lcm{Ai,Ai表示循环节长度},∑i=1kAi=n排数=lcm{Ai,Ai表示循环节长度},∑i=1kAi=n
根据lcm的定义,分解质因数拆掉Ai=px11×px22×...×pxkkAi=p1x1×p2x2×...×pkxk后
lcm=∏ipmax{xi}ilcm=∏ipimax{xi}
所以我们只看max{xi}max{xi}即可,即忽略掉≤max{xi}≤max{xi}的其它因子。所以问题等价于:
∑ipxii≤n∑ipixi≤n
的方案数。
然后随便dp即可
设d(i,j)d(i,j)表示前ii个质数和为jj的方案,有
d(i,j)=d(i−1,j)+∑kd(i−1,j−pki)
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 1e4+10, M = 30005, mod = 1e9 + 7, inf = 0x3f3f3f3f; typedef long long ll; ll H ,dp[2] ,p ; void solve(int n) { int cnt=0; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!H[i]) { p[++cnt] = i; for(int j=i+i;j<=n;j+=i) H[j]=1; } } dp[0][0]=1; int now = 1, last = 0; for(int i=1;i<=cnt;i++) { for(int j=0;j<=n;j++) { dp[now][j] = dp[last][j]; for(int k = p[i];j-k>=0;k*=p[i]) dp[now][j]+=dp[last][j-k]; } for(int j=0;j<=n;j++) dp[last][j]=0; now^=1; last^=1; } ll ans = 0; for(int i=0;i<=n;i++) ans+=dp[last][i]; cout<<ans<<endl; } int main() { int n; scanf("%d",&n); solve(n); }
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