稀疏矩阵的压缩存储及其两种转置算法

1 什么是稀疏矩阵

有较多值相同元素或较多零元素，且值相同元素或者零元素分布没有一定规律的矩阵称为稀疏矩阵。

假设在mXn的矩阵中，有t个元素不为零，令c=t/mXn则称为矩阵的稀疏因子，通常认为c<0.05时称为稀疏矩阵。

2 稀疏矩阵的压缩存储（只讨论有较多零元素矩阵的压缩存储）；

如何进行稀疏矩阵的压缩存储？稀疏矩阵的压缩存储有多种方法，本文主要介绍三元组顺序表这种存储方式。

1）三元组表

按照压缩存储的概念，只须存储稀疏矩阵的非零元素。但稀疏矩阵零元素分布没有一定规律，因此，除了存储非零元素的值之外，还必须同时记下它所在行和列号；反之，一个三元组（i,j,e)，能唯一确定矩阵的一个非零元。由此，稀疏矩阵可由非零元的三元组表及其行数、列数唯一确定。

例如，下列三元组表

A=( (1,2,12), (1,3,9), (3,1,-3), (3,6,14), (4,3,24), (5,2,18), (6,1,15), (6,4,-7) )

加上行、列数6，7便可作为矩阵M的另一种表示方式。

上述三元组表的不同存储方法可引出稀疏矩阵不同的压缩存储方法

2）三元组顺序表

假设以顺序存储结构来表示三元组表，则可得稀疏矩阵的一种压缩存储方式——我们称之为三元组顺序表。

稀疏矩阵的三元组顺序表的类型定义

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#define MAXSIZE 12500 //假设非零元个数的最大值为12500

Typrdef struct {

int i,j; //非零元的行下标和列下标

ElemType e; //非零元

}Triple;

Typedef union {

Triple data[MAXSIZE+1]; //用于存储非零元三元组表, data[0]未用

int mu,nu,tu; //矩阵的行数、列数和非零元个数

}TSMatrix;

Triple：是包含三个域的结构类型，其变量用于存储矩阵的非零元三元组

i, j：两个整数域，用于存储非零元的行下标和列下标

e：用于存储非零元的值

TSMatrix：是包含四个域的结构类型，

data： 一维数组，用于存储矩阵的非零元三元组表

mu,nu,tu：三个整数域，分别存储矩阵的行数、列数和非零元个数

设M是TSMatrix 类型的结构变量，则M有四个域，其中M.data用于存储矩阵M的三元组表，在此我们约定，M.data域中非零元三元组是以行序为主序顺序存储的。

设M是TSMatrix类型的结构变量，则M有四个域，其中M.data用于存储矩阵M的三元组表，如下图所示





3 转置运算算法

下面以矩阵的转置运算为例，讨论在三元组顺序表存储方式下，如何实现矩阵的运算。本文介绍两种转置运算算法。

转置运算是一种最简单的矩阵运算。对于一个m行 n列的矩阵M，它的转置矩阵T是一个n行m列的矩阵。例如，下图中的矩阵M和T互为转置矩阵。





1) 转置运算算法TransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix &T)

基本思想

对M.data从头至尾扫描：

第一次扫描时，将M.data中列号为1的三元组赋值到T.data中，

第二次扫描时，将M.data中列号为2的三元组赋值到T.data中，

依此类推，直至将M.data所有三元组赋值到T.data中

转置运算算法

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Status TransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix &T) {
//采用三元组表存储表示，求稀疏矩阵M的转置矩阵T
T.mu=M.nu; T.nu=M.mu; T.tu=M.tu;
if (T.tu) {
q=1; // q为当前三元组在T.data[ ]存储位置(下标)
for (col=1; col<=M.nu; ++col)
for (p=1; p<=M.tu; ++p) //p为扫描M.data[ ]的“指示器”
//p“指向”三元组称为当前三元组
if (M.data[p].j= =col){
T.data[q].i =M.data[p].j; T.data[q].j=M.data[p].i;
T.data[q].e=M.data[p].e; ++q;}
}
return OK;
}// TransposeSMtrix

时间复杂度分析

算法的基本操作为将M.data中的三元组赋值到T.data，是在两个循环中完成的，故算法的时间复杂度为O(nu´tu)

我们知道，若用二维数组存储矩阵，转置算法的时间复杂度为O（mu´nu）。当非零元的个数tu和矩阵元素个数mu´nu同数量级时，转置运算算法1的时间复杂度为O（mu´nu´ nu）。由此可见：在这种情况下，用三元组顺序表存储矩阵，虽然可能节省了存储空间，但时间复杂度提高了，因此算法仅适于tu << mu´nu的情况。

该算法效率不高的原因是：对为实现M到T的转置，该算法对M.data进行了多次扫描。能否在对M.data一次扫描的过程中，完成M到T的转置？

快速转置算法

下面介绍转置运算算法称为快速转置算法

分析

在M.data中，M的各列非零元对应的三元组是以行为主序存储的，故M的各列非零元对应的三元组存储位置不是“连续”的。然而，M的各列非零元三元组的存储顺序却与各列非零元在M中的顺序一致。

如：M的第一列非零元素是-3、15，它们对应的三元组在M.data中的存储顺序也是（3，1，-3）在前（6，1，15）后。

如果能先求得M各列第一个非零元三元组在T.data中的位置，就能在对M.data一次扫描的过程中，完成M到T的转置：

对M.data一次扫描时，首先遇到各列的第一个非零元三元组，可按先前求出的位置，将其放至T.data中，当再次遇到各列的非零元三元组时，只须顺序放到对应列元素的后面。

为先求得M各列第一个非零元三元组在T.data中的位置。引入两个辅助向量num[ ] 、cpos[ ]：

num[col]：存储第col列非零元个数

cpos[col]：存储第col列第一个非零元三元组在T.data中的位置

cpos[col]的计算方法：

cpos[1]=1

cpos[col]=cpos[col-1]+num[col-1]

例矩阵M



快速转置算法主要步骤：

1、 求M中各列非零元个数num[ ];

2、 求M中各列第一个非零元在T.data中的下标cpos[ ];

3、 对M.data进行一次扫描，遇到col列的第一个非零元三元组时，按cpos[col ]的位置，将其放至T.data中，当再次遇到col列的非零元三元组时，只须顺序放到col列元素的后面;

快速转置算法

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Status FastTransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix &T) {
//采用三元组顺序表存储表示，求稀疏矩阵M的转置矩阵T。
T.mu=M.nu; T.nu=M.mu; T.tu=M.tu;
if (T.tu){
for (col=1; col<=M.nu; ++col) num[col]=0;
for (t=1; t<=M.tu; ++t) ++num[M.data[t].j]; //求M中每一列非零元个数
//求第 col列中第一个非零元在T.data中的序号
cpot[1]=1;
for(col=2; col<=M.tu; ++col) cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1];
for(p=1; p<M.tu; ++p) {
col=M.data[p].j; q=cpot[col];
T.data[q].i=M.data[p].j; T.data[q].j=M.data[p].i;
T.data[q].e=M.data[p].e;
++cpot[col];
}//for
}//if
return OK;
}//FastTransposeSMatrix

时间复杂度分析

该算法利用两个辅助向量num[ ]、cpos[ ]，实现了对M.data一次扫描完成M到T的转置。

从时间上看，算法中有四个并列的单循环，循环次数分别为mu、tu、t和tu，因而总的时间复杂度为O（mu+tu)，在M的非零元个数tu和mu´nu同等数量级时，其时间复杂度为O( mu´nu)，和转置算法5.1的时间复杂度相同。由此可见，只有当tu<< mu´nu时，使用快速转置算法才有意义。

原文：/article/7688501.html