黄金连分数 - 蓝桥杯（2013年第四届蓝桥杯全国软件大赛预赛第4题）

题目描述

标题: 黄金连分数

黄金分割数0.61803... 是个无理数，这个常数十分重要，在许多工程问题中会出现。有时需要把这个数字求得很精确。

对于某些精密工程，常数的精度很重要。也许你听说过哈勃太空望远镜，它首次升空后就发现了一处人工加工错误，对那样一个庞然大物，其实只是镜面加工时有比头发丝还细许多倍的一处错误而已，却使它成了“近视眼”!!

言归正传，我们如何求得黄金分割数的尽可能精确的值呢？有许多方法。

比较简单的一种是用连分数：

                  1

    黄金数 = ---------------------

                        1

             1 + -----------------

                          1

                 1 + -------------

                            1

                     1 + ---------

                          1 + ...

这个连分数计算的“层数”越多，它的值越接近黄金分割数。

请你利用这一特性，求出黄金分割数的足够精确值，要求四舍五入到小数点后100位。

小数点后3位的值为：0.618

小数点后4位的值为：0.6180

小数点后5位的值为：0.61803

小数点后7位的值为：0.6180340

（注意尾部的0，不能忽略）

你的任务是：写出精确到小数点后100位精度的黄金分割值。

注意：尾数的四舍五入！ 尾数是0也要保留！

显然答案是一个小数，其小数点后有100位数字，请通过浏览器直接提交该数字。

注意：不要提交解答过程，或其它辅助说明类的内容。

分析

按照题目给出的一种简单方法，可以用斐波纳契数列和模拟手算除法实现。

黄金分割数实际上是相邻的两个斐波那契数的商。

对于模拟手算除法，用下面代码所示的for循环即可实现。

但是这种方法的精确度可能不够。

代码实现

# include <stdio.h>
# define F 50
int main(void)
{
unsigned long long int fib[1000];
int f = 0;
int a[101];
fib[0] = 0;
fib[1] = 1;
for(int i = 2; fib[i] < 1e18; i++) {
fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
f++;
}
printf("%d\n", f);
unsigned long long int x = fib[F - 2];
unsigned long long int y = fib[F - 1];
for(int i = 0; i < 101; i++) {
a[i] = x / y;
x = (x % y) * 10;
printf("%d", a[i]);
}
}

最后答案

0.6180339887498948481971959525508621220510663574518538453723187601229582821971784348083863296133320592