关于欧拉筛求phi的讨论

对于任意正整数i，我们将其所有的质数(p)倍筛去。

如果当前的p已经是i的约数，那么之后的数 p*i中， p一定不是p*i的最小质因子。

每个合数只会被其最小质因子筛去一次，所以时间复杂度为O（N）。

若i为质数：ϕ(i)=i−1

若i的最小质因子指数为1：根据ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b)(a,b互质)可知，ϕ(i∗p)=ϕ(i)∗ϕ(p)

若i的最小质因子指数大于1（即当前p为i∗p的最小质因子，且p整除i）：ϕ(i∗p)=ϕ(i)∗p，下面给出证明。

已知p|i，且p为质数，求证ϕ(i∗p)=ϕ(i)∗p

证明：

因为p|i，则令m=i/p，即i=mp

则ϕ(i∗p)=ϕ(mp2)，且m与p互质

所以ϕ(mp2)=ϕ(m)∗ϕ(p2)=ϕ(m)∗(p−1)p

又因p为质数，ϕ(m)∗(p−1)p=ϕ(m)∗ϕ(p)∗p=ϕ(mp)∗p

即ϕ(i∗p)=ϕ(i)∗p，证毕。

每个数只会被它的最小质因子筛一次，时间复杂度为O(n)。