1003_Fibonacci Sequence

比赛描述

在数学上，斐波那契数列（Fibonacci Sequence），是以递归的方法来定义：

F0 = 0

F1 = 1

Fn = Fn - 1 + Fn - 2

用文字来说，就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就由之前的两数相加。首几个斐波那契数是：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584

, 4181, 6765, 10946，………………

特别指出：0不是第一项，而是第零项。

在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多（又名斐波那契），他描述兔子生长的数目时用上了这数列。

n 第一个月有一对刚诞生的兔子

n 第两个月之后它们可以生育

n 每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子

n 兔子永不死去

假设在n月有新生及可生育的兔子总共a对，n+1月就总共有b对。在n+2月必定总共有a+b对：因为在n+2月的时候，所有在n月就已存在的a对兔子皆已可以生育并诞下a对后代；同时在前一月(n+1月)之b对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生育。

现请以较短的时间，求出斐波那契数列第n项数值，0≤n≤40。

输入

斐波那契数列项数n，0≤n≤40。

输出

斐波那契数列第n项数值

样例输入

4

样例输出

3
解答：解决斐波那契数列问题可用两种方法：递归法和迭代法；
我先用递归法提交：

#include <iostream>
int fib(int n);
int main()
{
	using std::cin;
	using std::cout;
	int n;
	cin >> n;
	cout << fib(n);
	return 0;
}

int fib(int n)
{
	if (n == 0)
		return 0;
	else if (n == 1)
		return 1;
	else
		return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

结果系统给出的评判是：Time
Limit Exceed at Test 4（意思是题目规定的时间内你的程序没能输出答案，一般是由于设计的算法效率不够高）

上述方法已经可以算出结果，却效率不高。

接下来用迭代法提交：

#include <iostream>
using namespace std;

int fib(int n);
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	cout << fib(n);
	return 0;
}

int fib(int n)
{
	int x, y, z;
	if (n == 0)
	{
		return 0;
	}
	else
	{
		x = 0;
		y = 1;
		z = 0;
		for (int i = 0; i < n - 1; i++)
		{
			z = x + y;
			x = y;
			y = z;
		}
		return y;
	}
}

此方法通过。

重要知识点如下：
递归法定义：一个过程或函数能直接或者间接调用自身。
递归法使用条件：1.能自身调用自身
2.能降阶（如求阶乘）
3.有终止条件
形象例子：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事：

从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事...

迭代法定义：迭代法也称辗转法，用同一组指令，不断用旧值递推新值的过程。

如这个数列中的数(除了第一个和第二个)都是由前两个旧值相加得到这个新值。

两种方法的比较：
递归法：代码简洁易懂，但效率较低。



如图所示当计算f(4)时，f(2)计算了两次，当n更大时递归算法重复计算将会更多，所以效率低下。
迭代法：代码相对复杂，但执行效率较高。