HDU5621——数学应用(多边形内对角线交点个数) + 数论 + unsigned long long的应用

题目描述：

KK's Point

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Problem Description

Our lovely KK has a difficult mathematical problem:He points N(2≤N≤105) points
on a circle,there are all different.Now he's going to connect the N points
with each other(There are no three lines in the circle to hand over a point.).KK wants to know how many points are there in the picture(Including the dots of boundary).

Input

The first line of the input file contains an integer T(1≤T≤10),
which indicates the number of test cases.

For each test case, there are one lines,includes a integer N(2≤N≤105),indicating
the number of dots of the polygon.

Output

For each test case, there are one lines,includes a integer,indicating the number of the dots.

Sample Input

2
3
4

Sample Output

3
5

题意：

一个圆周上点下了互不重合的N(2≤N≤105)个点，将这N个点两两相连（圆内没有三条线交于一个点的情况），图形中一共有多少个交点（包括边界上的点）。

解析：

同样，这也是一道找规律的题目，将这N个点两两相连，当N>3时，在外部则形成了一个多边形，然后内部的连线则是多边形的对角线，而这道题便转换为多边形内对角线交点个数的问题，即原问题转换成数学问题：

给定一个凸N边形,满足性质：任何三条对角线都不交于同一点.在这样一个多边形的内部,它的所有对角线共形成多少个交点?

由于每一个交点对应着两条相交的对角线，而两条相交的对角线确定一个四边形，所以计算交点的个数即是计算多边形内四边形的个数，所以原问题又转换为多边形内四边形的个数，而四边形四个点，所以这就是我们熟悉的组合问题了（在N个点中任意找四个点形成一个四边形），那么交点个数=四边形个数=C(N，N-4).考虑特殊情况后，很快便得出完整代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
int T;
ll N;
while(scanf("%d",&T)==1&&T)
{
while(T--)
{
scanf("%I64d",&N);
if(N==2)  printf("2\n");
else if(N==3)  printf("3\n");
else if(N>3)
{
ll sum = (N * (N - 1) * (N - 2) *(N - 3)) / 24;
printf("%I64d\n",sum+N);
}

}
}
return 0;
}

提交答案后，却得出这样的回复：



于是，我便开始纳闷，为什么会这样呢？规律都正确了，为什么会得出Wrong Answer呢？

然后我注意到了N的取值范围，N<=10^5,所以我考虑是不是long long的数据范围不够大？于是我很快便得出以下代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
int main()
{
int T;
ull N;
while(scanf("%d",&T)==1&&T)
{
while(T--)
{
scanf("%llu",&N);
if(N==2)  printf("2\n");
else if(N==3)  printf("3\n");
else if(N>3)
{
ull sum = (N * (N - 1) * (N - 2) *(N - 3)) / 24;
printf("%llu\n",sum+N);
}

}
}
return 0;
}

可依旧还是：



于是我想不明白了，数据改为unsigned long long类型了，已经是整型范围内最大的数据类型了，难道还是超过最大范围吗？于是我重新看了一下N的取值范围，然后发现四个连乘之后，数据达到了10^20级别，而下面是各种数据类型的数据范围：



然后发现unsigned long long的最大值也只是10^19次方级别的数据，而四个连乘之后数据范围明显超过了unsigned
long long的最大值，那么我们要怎么做才能得到正确答案呢？我们发现，连续的两个数必定有一个是偶数，连续的三个数必定有一个是3的倍数，同理，连续的四个数必定有一个是4的倍数，所以呢，我们可以不必要直接把四个含有N的表达式全部相乘，可以连续两个乘过之后，除以2，然后再乘一个，除以3，这样的话，在N取得最大值10^5的情况下，前面四个连乘后得出的结果为：16665666684999900000，数据范围在unsign
long long之内，这样的话，我们解决了问题。再除以4，这样的话，所以得出以下完整代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long int ull;
int main()
{
int T;
ull N;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%I64u",&N);
ull sum = N;
if(N>3)
sum += N * (N - 1) / 2 * (N - 2) / 3 * (N - 3) / 4;   //ULL只有19位
printf("%I64u\n",sum);
}
return 0;
}

总结：这道题其实不难，考的是数学应用，但是这道题考察了平时会比较忽略的知识（unsigned long long，溢出最大数据范围等问题），所以呢，我们才一时找不出错误，这更警醒我们要注重基础，多了解一点总是没有害处的。然后平时要多积累，注意数学问题之间的转换，可以化难为易，并且转换成我们能够解决的问题。