【证明】关于项链问题中旋转操作的置换群的循环节个数、长度的证明【Pólya】【同余】

做POJ2154时，对于”置换的循环节的个数为gcd(i, n)"表示疑惑，但是看了很多blog，发现都没有证明这个结论，于是这里做个简单的证明。

设一开始珠子的位置在p点，每次旋转x格。

先证明循环节长度为n / gcd(x, n)。

假设这个珠子走了k次回到p点，那么有



减去p，有



说明了kx是n的倍数，即



又显然有kx是x的倍数



我们发现kx既是n的倍数，又是x的倍数。但是我们求的是循环节长度，即k需要最小，又因为x是常量，那么我们当然取n和x的最小公倍数了



代换一下lcm



消去x，得到k



Q.E.D.

现证明循环节个数是gcd(x, n)
因为循环节的长度为n / gcd(x, n)，又一共有n个元素，且这n个元素对称，那么显然循环节个数就是gcd(x, n)。
Q.E.D