最大公约数的运用

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线段上格点的个数

给定平面上的两个格点P1(x1,y1)
和P2(x2,y2),
线段上P1P2上，除P1和P2以外一共有多少格点

虽然可以用穷举法，遍历min(x1,x2)≤x≤max(x1,x2)且min(y1,y2)≤y≤max(y1,y2)
的格点可以得到正确答案，但是复杂度确实O(|x1−x2|×|y1−y2|)
，其实这个题的答案是|x1−x2|和|y1−y2|
的最大公约数减去1。（注意，|x1−x2|=0且|y1−y2|=0
时，答案为0）

原因，首先看一下|x1−x2|和|y1−y2|
的最大公约数代表的是啥？ 其实可以看成 在横向和竖向的最大的公共等分数， 比如 6 的等分点可以是 1:1:1:1:1:1分成6份 ,也可以是 2:2:2分成3份，或者是 6，只有1份。（其实对应的是 6能被6，3，1整除） 那么 6和9的最大公共等分数是3，即6分为 2：2：2 ， 9分为3：3：3. 那么边长为6和9的矩形，按照这样分会是什么情况呢？



通过上图可以看出，大矩形的对角线正好经过 (2,3),(4,6),(6,9) 除开(6,9)，就是本体所要求的点。这就是为什么这个题的答案是|x1−x2|和|y1−y2|
的最大公约数减去1。

那这个题可以转换为求最大公约数的问题，最大公约数一般使用辗转相除法

辗转想法的原理：

如果有两个自然数a和b（a>b)，
可以写成a=k×b+c

情况1：如果c=0,那么gcd(a,b)=b

情况2：如果c≠0
, 那么gcd(a,b)=gcd(b,c)