leetcode 之 add digits

题目：

Given a non-negative integer 

num

, repeatedly add all its digits until the result has only
one digit.

For example:

Given 

num = 38

, the process is like: 

3
+ 8 = 11

, 

1 + 1 = 2

. Since 

2

 has
only one digit, return it.

Follow up:

Could you do it without any loop/recursion in O(1) runtime?

解答：

这是ACM的一个典型的题目，就是digit root

首先要知道一个定理就是一个数模9的余数和它的所有位加起来的和模9的余数相同

证明如下：

假设一个数字为a[n-1].....a[0]

首先1 % 9 = 1 % 9

10 % 9 = 1 % 9

100 % 9 = 1 % 9

........

10^(n - 1) % 9= 1 % 9

两边同时乘以相应的位的值，再相加就有(a[n-1]*10^(n-1)) + ......+ a[0]) % 9 = (a[n-1] + .....a[0]) % 9

即已经证明

这样假设初始为num，f(num)为num的每个位的数字的和

num % 9 = f(num) % 9 = f(f(num)) % 9 =.....=t % 9

t就是最终的结果并且t小于等于9

所以很明显t = num- ((num- 1)/9 )* 9;

代码就是 return
num- ((num- 1)/9 )* 9;