深入理解KMP算法核心思想

什么?你看了那么多遍kmp还没理解?这篇文章就让你彻底理解:P

--------------------------------------------------《第一部分:特殊情况》--------------------------------------------------------------



    如图现在有两个字符串W和T，要在W中找到T。很明显W[3]和T[3]不匹配，那么下一步该怎么比较呢？

    ->如果在生活中我遇到这样的问题，我肯定不会拿W[1]和T[0]相比，而是直接让W[2]和T[0]对齐，然后让W[3]和T[1]进行对比，想想还有点小机智呢...

   

    为什么聪明的人类会略去中间的一步W[1]和T[0]，而直接进行W[3]和T[1]的比较呢？

    ->因为我们可以很明显的看出T[0] != T[1]  && T[1] ==W[1] ，所以T[0] != W[1]。于是我们跳过T[0]和W[1]的比较，直接让W[2]和T[0]对齐，然后让W[3]和T[1]进行对比，这就是KMP最核心的内容了。

    下面就通过几个小问题深入理解KMP的核心思想

1、为什么W[2]能和T[0]对齐？

     之所以能让W[2]和T[0]对齐当然是因为W[2]和T[0]相等了...

2、W[3]和T[3]的位置发生失配能说明什么？

     说明在这之前都匹配，即W[0]和T[0]，W[1]和T[1]，W[2]和T[2]都是相等的...

3、由问题1和问题2还能得到什么？

     W[2]和T[0]相同，W[2]和T[2]相同，bingo，得到T[0]和T[2]相同:)

4、如果T[0]和T[2]不相同，那么还能将W[2]和T[0]对齐吗？

     当然不行了，T[0]和T[2]不同,W[2]和T[2]相同，那么T[0]和W[2]也就不同了，所以答案是否定的！

5、T[0]和T[2]的位置有什么特点？

     T[0]是T的最开始位置，T[2]是最靠后的位置(除了T[3]产生失配的位置以外，下同)。

6、总结一下我们的发现。

     在W[3]和T[3]发生失配时，如果T的最前的1个字符T[0]和T的最后一个字符T[2]相同(除了T[3]产生失配的位置以外，下同，不再强调)，那么我们可以将T[0]和W[3-1]对齐，然后直接比较W[3]和T[1]，从而大大比较的效率，当然这里还看不出来效率问题。

--------------------------------------------------《第二部分:一般情况》--------------------------------------------------------------



一般都把这里的W串称为目标串，T串称为模式串。

现在我们把上面的特殊情况一般化，即把W[3]的a看成一个包含n个字符的字符序列，失配的位置为W[i]。

       ->当在目标串的W[i]处发生失配时，如果模式串T的前n个字符和结尾的n个字符相同（当然要除去产生失配的那个字符），根据上面特殊情况的分析，我们可以直接用T的前n个字符和以W[i]为起始位置的n个字符对齐，直接比较W[j]和T
是否相同即可。想象一下如果n是2^10或者更大，一步一步的移动会做多少无用功啊...这下可以体会到什么叫大大提高效率了吧...

       ->这也说明了努力虽然很重要，但是如果方法不对，结果可想而知 :(

--------------------------------------------------《第三部分:Next数组》--------------------------------------------------------------

Next值：

   用现代的话说就是备胎，即当模式串中的一个元素失配以后，用哪个第几个元素代替它继续进行比较。

   它的值等于去掉失配元素之后，前后相等子串的最大长度。

举例说明

    ->在第一部分中，T[3]失配之后，去掉最T[3]以后的字符序列，只有第一个字符和最后一个字符相等(都是a)，所以3的Next值为1;。

       那么下次比较时，应该用第一个元素T[1]代替它继续比较;

    ->在第二部分中，T[2n+3]失配之后，去掉最T[2n+3]以后的字符序列，最开始的n个字符序列和最后n个字符相等，所以2n+3的Next值为n;。

       那么下次比较时，应该用第一个元素T
代替它继续比较，


Next数组：

   所有的备胎组成的数组自然就是Next数组了。

那么如何求得Next数组是KMP算法中一个最重要的环节了，假设我们计算出了next[i] = n, 那么next[i+1] = ?



如图，当T[i]失配时，备胎T
就会移动到T[i]的位置，代替T[i]继续进行比较。由前面的知识可知两个填充绿色的字符序列是相等的。

现在要求Next[i+1]：



     -> 如上图，假如T[i] == T
，那么T的前n+1个元素和最后n+1个元素相同，所以当T[i+1]失配的时候，

         可以直接使用T[n+1]替代T[i+1]进行比较。这样也就得到Next[i+1] = n + 1 = Next[i]+1;

    



    -> 如上图，假如T[i] != T
呢? 这时候我们就不能在Next[i]之上作文章了，而是需要重新找最大子串。具体做法如下：

       1、先在前i个元素中找到长度为j的最大子串; 由于绿色标记的串都相等，所以可以把思路转换下，即在前n个字符序列中查找最大字串序列;此时可以发现最大长度就是Next
的值，j = Next
;

       2、现在要求Next[i+1]

           -> 假如T[i] == T[j]，Next[i+1] = j + 1 = Next[Next[i]] + 1;



           ->如上图，假如T[i]
！= T[j]，...可以发现又要递归查找合适的最大子串k;

                                      。。。。递归ing。。。。

         假设我们现在递归到最大子串长度为1,即T[0]
==T[i-1]

            ->如果T[1] == T[i]，则Next[i+1] = 1 + 1 = 2;

            ->如果T[1] != T[i]，再进行最后一次递归，这时最大子串长度为0。判断T[0]和T[i]是否相等，如果相等T[i+1] = 1，否则T[i+1] = 0;



          

   经过上面的分析可知，只要满足下面的条件就要进行递归查找最大子串长度：最大子串大于0(Next[i]
> 0)并且T[i] != T[x]。 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

inline void BuildNext(const char *T, int Next[])
{
int i,j;

//T[0]是最开始的元素，没有备胎可选，用-1表示;
//T[1]也很无奈，只能选择T[0]做备胎，所以Next[1] = 0;
Next[0] = -1;
j = Next[1] = 0;
printf("Next[%d] is %d\n",0, Next[0]);
printf("Next[%d] is %d\n",1, Next[1]);

for (i = 2; i < strlen(T); i++){

while (j > 0 && T[i-1] != T[j]) j = Next[j];

if (T[i-1] == T[j]) j++;

Next[i] = j;
printf("Next[%d] is %d\n",i, Next[i]);
}

}

int main(void)
{
const char *T = "abcabcacab";
int Next[128] = {0};

BuildNext(T, Next);
return 0;
}