概率、随机数、随机数生成函数(面试题)
2016-01-09 21:08
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相关的面试中涉及的随机数生成、以及概率的有关问题的讨论,请参阅 如何通过投掷一枚硬币产生各种概率。
解决这类题有两大窍门:
0-1区间上的均匀分布,和 if 相结合实现对某一概率的要求;
多次采样,并不限制为1次;
适当地取舍;
首先来看一道笔试题:
实现某一随机数生成函数 f()f(),返回0的概率是60%,返回1的概率是40%(有偏置型硬币)。
假设此时 f()f()已知,根据 f()f()求另一随机数生成函数 g()g(),使返回 0,10,1的概率均为 0.5, 0.5.
多次取样,求joint probability(联合概率)。对本例而言,调用两次 f()f()即可,此时会出现4中结果(构成样本空间),(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1),其中出现(0, 1)(0.6*0.4)和(1, 0)(0.4*0.6)的概率是一致的,据此可构造等概率事件。
我们接着看如何符合某一概率分布(离散型)进行采样,而不限于
如下的伯努利分布(最为简单的0-1分布),比如三个离散值 [(1,0.3),(2,0.4),(3,0.3)][(1, 0.3), (2, 0.4), (3, 0.3)]。
此时我们需要重新定义该函数形式:
简单验证:
输出为:
《程序员面试金典第5版》(Cracking the Coding Interview) 也有一道给定一个随机数生成函数生成另一个随机数函数的题目;
给定rand5(),实现一个方法rand7()。也即,给定一个产生0到4(含)随机数方法,编写一个产生0到6(含)随机数的方法。(P105)
解题的关键在于确保产生每一个数的概率相等。我们首先来分析:
rand5(): [0, 1, 2, 3, 4]
2*rand5(): [0, 2, 4, 6, 8]
rand5() + rand5():(rand5()+rand5()不仅与2*rand5()取值范围不同)最终的取值范围在[0, 8],但取每一个值的概率并不相等,比如0=0+0, 4=4+0=0+4=2+2=1+3=3+1,对应于各种情况
5*rand5() + rand5():取值范围在[0, 24],取每一个值的概率达到完美的相等;
稍加变形,给定rand7(),如何实现rand5()呢?
关键还在于确保产生的每一个值的概率相等。
形式上与上面的方法相同:7*rand7()+rand7()
解决这类题有两大窍门:
0-1区间上的均匀分布,和 if 相结合实现对某一概率的要求;
多次采样,并不限制为1次;
适当地取舍;
首先来看一道笔试题:
实现某一随机数生成函数 f()f(),返回0的概率是60%,返回1的概率是40%(有偏置型硬币)。
import random def bias_coin(): p = random.random() return 0 if p < 0.6 else 1
假设此时 f()f()已知,根据 f()f()求另一随机数生成函数 g()g(),使返回 0,10,1的概率均为 0.5, 0.5.
多次取样,求joint probability(联合概率)。对本例而言,调用两次 f()f()即可,此时会出现4中结果(构成样本空间),(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1),其中出现(0, 1)(0.6*0.4)和(1, 0)(0.4*0.6)的概率是一致的,据此可构造等概率事件。
def g(): while True: a, b = bias_coin(), bias_coin() if (a, b) == (0, 1): return 1 if (a, b) == (1, 0): return 0
我们接着看如何符合某一概率分布(离散型)进行采样,而不限于
如下的伯努利分布(最为简单的0-1分布),比如三个离散值 [(1,0.3),(2,0.4),(3,0.3)][(1, 0.3), (2, 0.4), (3, 0.3)]。
def bernoulli(p): u = random.random() return 1 if u < p else 0
此时我们需要重新定义该函数形式:
def withProbRandomPick(prob_dist): r = random.random() s = 0 for prob in prob_dist: s += prob[1] # 这一步相加很妙,很妙 if r < s: return prob[0]
简单验证:
prob_dist = [(1, .3), (2, .4), (3, .3)] from collections import defaultdict cnt = defaultdict(int) N = 10**6 for i in range(N): cnt[withProbRandomPick(pro_dist)] += 1 for n in cnt: print(n, cnt /N)
输出为:
1 0.30159 2 0.39829 3 0.30012 # 十分接近
《程序员面试金典第5版》(Cracking the Coding Interview) 也有一道给定一个随机数生成函数生成另一个随机数函数的题目;
给定rand5(),实现一个方法rand7()。也即,给定一个产生0到4(含)随机数方法,编写一个产生0到6(含)随机数的方法。(P105)
解题的关键在于确保产生每一个数的概率相等。我们首先来分析:
rand5(): [0, 1, 2, 3, 4]
2*rand5(): [0, 2, 4, 6, 8]
rand5() + rand5():(rand5()+rand5()不仅与2*rand5()取值范围不同)最终的取值范围在[0, 8],但取每一个值的概率并不相等,比如0=0+0, 4=4+0=0+4=2+2=1+3=3+1,对应于各种情况
5*rand5() + rand5():取值范围在[0, 24],取每一个值的概率达到完美的相等;
# 这里不妨给出rand5()的简单实现 def rand5(): p = random.random() return int(p*5)
# 根据rand5(),得rand7()的实现 def rand7(): while True: x = 5*rand5()+rand5() if x < 21: return x%7
稍加变形,给定rand7(),如何实现rand5()呢?
关键还在于确保产生的每一个值的概率相等。
形式上与上面的方法相同:7*rand7()+rand7()
# 也姑且给出rand7()的简单实现 def rand7(): p = random.random() return int(7*p)
def rand5(): while True: x = 7*rand7()+rand7() while x < 45: return x%5
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