hihocoder 1127 : 二分图三·二分图最小点覆盖和最大独立集

最大独立集问题:

在图G中选取尽可能多的点，使得任意两个点之间没有连边。

结论：最大独立集的点数
= 总点数 - 二分图最大匹配

证明：

假设最大独立集的点数为|U|，二分图最大匹配的匹配数为|M|，最大匹配中所有顶点集合为EM

先证明 |U|≤|V|-|M|

M中任意一条边的两个端点是连接的，所有对于M中的边必有一个端点不在|U|集合中，所以|M|≤|V|-|U|

再证明|U|≥|V|-|M|

首先我们知道一定有|U|≥|V|-|EM|，即将最大匹配的点删除之后，剩下的点一定都不相连。

接下来我们考虑能否将M集合中的一个端点放入U中：

假设(x,y)属于M，存在(a,x),(b,y)，且a,b都在U中，则会出现两种情况：

如果(a,b)连接，则有一个更大的匹配存在，矛盾
如果(a,b)不连接，a->x->y->b有一个新的增广路，因此有一个更大的匹配，矛盾
故有a,b两点中至多只有1个点属于U，则我们总是可以选取x,y中一个点放入集合U
所以|U|≥|V|-|EM|+|M|=|V|-|M|

综上有|U|=|V|-|M|

最小点覆盖问题:

在图G中选取尽可能少的点，使得图中每一条边至少有一个端点被选中。即用最少的点去覆盖所有的边。

结论：最小点覆盖的点数
= 二分图最大匹配

其实最小点覆盖的点数=二分图最大匹配这个结论可以很直观地感受，假设最小点集合里面的一个顶点为V，那么与V相邻的边都能够被它给覆盖掉，那么与这条边对应的另一端顶点就不需要考虑了，并且在最大匹配的点集合中，必定有一半的点所关连的边不止一条。所以可以很直观地得到这个结论。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn = 1001;
int n,m,belong[maxn];
bool vis[maxn],line[maxn][maxn];

bool find(int x)
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
if(line[x][i] == true && vis[i] == false)
{
vis[i] = true;
if(belong[i] == 0 || find(belong[i]) == true)
{
belong[i] = x;
return true;
}
}
}
return false;
}

int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
line[u][v] = line[v][u] = true;
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
memset(vis,false,sizeof(vis));
if(find(i)) ans++;
}
printf("%d\n%d\n",ans/2,n-ans/2);
}
return 0;
}