Leetcode207: Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of
size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

最终实现的代码为：

class Solution {
public:
double findkmins(vector<int>::iterator a, int m, vector<int>::iterator b, int n, int k)
{
if(m>n)
return findkmins(b, n, a, m, k);
if(m==0)
return b[k-1];
if(k==1)
return min(*a, *b);
int pa = min(k/2, m);
int pb = k-pa;
if(*(a+pa-1)<*(b+pb-1))
{
return findkmins(a+pa, m-pa, b, n, k-pa);
}
else if(*(a+pa-1)>*(b+pb-1))
{
return findkmins(a, m, b+pb, n-pb, k-pb);
}
else
return *(a+pa-1);
}
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int m = nums1.size();
int n = nums2.size();
int total = m+n;
vector<int>::iterator a = nums1.begin();
vector<int>::iterator b = nums2.begin();
if(total & 0x1)
{
return findkmins(a, m, b, n, total/2+1);
}
else
return (findkmins(a, m, b, n, total/2)+findkmins(a, m, b, n, total/2+1))/2;
}
};

python代码：

class Solution(object):
def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
"""
:type nums1: List[int]
:type nums2: List[int]
:rtype: float
"""
merge = []
index1 = 0
index2 = 0
while index1 < len(nums1) and index2 < len(nums2):
if nums1[index1]<nums2[index2]:
merge.append(nums1[index1])
index1 += 1
else:
merge.append(nums2[index2])
index2 += 1
while index1 < len(nums1):
merge.append(nums1[index1])
index1 += 1
while index2 < len(nums2):
merge.append(nums2[index2])
index2 += 1
total = len(nums1)+len(nums2)
if total & 0x1:
return merge[total/2]
else:
return (merge[total/2-1]+merge[total/2])/2.0