HDU 1568 Fibonacci（简单数论）

Fibonacci

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[align=left]Problem Description[/align]
2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列

(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。

接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

[align=left]Input[/align]
输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

[align=left]Output[/align]
输出f
的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

[align=left]Sample Input[/align]

0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40

[align=left]Sample Output[/align]

0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023

[align=left]Author[/align]
daringQQ

[align=left]Source[/align]
Happy 2007

题意:输出Fibonacci数组的前四位,n<=100000000;思路:

首先:看到这个题的数据范围,0(n)的时间复杂度是不行的。

然后想下数组可不可以用来储存呢?n<=100000000,数太大了,就算表示 ,也会超时。

再想是不是有循环节,但是前四位的是跟后面几位有关系的(可以产生进位),不能只存前四位;

最后想想:Fibonacci数肯定有公式可以求得公式如下:



思考如何产生前4位。

先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);假设给出一个数10234432,

那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)【用科学记数法表示这个数】=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744(取对数所产生的数一定是个小数)

再取一次幂:10^0.010063744=1.023443198

那么要取前几位就比较好想了吧。

对公式取对数:



最后一项小于0并且很小可以不用计算

步骤:

先取对数(对10取),然后得到结果的小数部分bit,pow(10.0,bit)以后如果答案还是<1000那么就一直乘10。注意偶先处理了0~20项是为了方便处理~
代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
const double s = (sqrt(5.0) + 1.0) / 2;
int main() {
int n, i;
double bit;
int fac[21] = { 0, 1 };
for (i = 2; i < 21; i++)
fac[i] = fac[i - 1] + fac[i - 2];
while (cin >> n) {
if (n <= 20) {
cout << fac
<< endl;
continue;
} else {
bit = -0.5 * log(5.0) / log(10.0)
+ ((double) n) * log(s) / log(10.0); //调用公式
bit = bit - floor(bit); //取小数部分└(^o^)┘
bit = pow(10.0, bit);
while (bit < 1000) //要求四位，所以要将小数点右边的数移到左边直到符合要求
bit = 10.0 * bit;
cout << (int) bit << endl;
}
}
return 0;
}