初等行变换求逆矩阵

设要求出n阶矩阵A的逆矩阵B。

对于一个矩阵的初等行变换，有三种：

1. 交换两行。

2. 将某一行的所有元素乘以一个非零实数k。

3. 将某一行j，加上某一行i(i≠j)乘以一个非零实数k，即Aj=Aj+Ai∗k。

可以发现的是，每种变换其实都可以等价于乘以某个矩阵，事实上称其为初等矩阵。

那么，当我们不停地对A进行初等变换，并且用另外一个矩阵C不停地乘上这种变换对应的初等矩阵，那么当A变为I(单位矩阵)时，C就是A的逆矩阵了。

怎么样将A变为I？我们类似于高斯消元一样，一行一行一列一列地扫过去。由于最终要保证Ai,i=1，其他为0。

设当前扫到第i行，那么对于Ai,1∼i−1=0。但是对于j<i，Aj,i可能不等于0。但我们初等变换中可以先对第i行除以Ai,i，即保证Ai,i=1，接着用i整行去消j<i。那么Aj,i就等于0了。那么我们这样一行一行地消下去即可。我们对A中做的所有操作，顺便对C同时做就好了。反正都是乘上同一个矩阵。

一开始没有操作时C就是I。

最后我们用O(N3)的复杂度求出了逆矩阵。