正态分布的前世今生

转自：

正态分布的前世今生（上）

正态分布的前世今生（下）

在终极的分析中，一切知识都是历史

在抽象的意义下，一切科学都是数学

在理性的基础上，所有的判断都是统计学

—C.R.Rao

正态分布在数学上的多种稳定性质：

两个正态分布密度的乘积还是正态分布

两个正态分布密度的卷积还是正态分布，也就是两个正态分布的和还是正态分布

正态分布N(0,σ2)的傅立叶变换还是正态分布

中心极限定理保证了多个随机变量的求和效应将导致正态分布

正态分布和其它具有相同方差的概率分布相比，具有最大熵

　　其他性质:

二项分布B(n,p)在n很大逼近正态分布N(np,np(1−p))

泊松分布Poisson(λ)在λ较大时逼近正态分布N(λ,λ)

χ2(n)在n很大的时候接近正态分布N(n,2n)

t分布在n很大时接近标准正态分布N(0,1)

正态分布的共轭分布还是正态分布

几乎所有的极大似然估计在样本量n增大的时候都趋近于正态分布

Cramer分解定理(之前介绍过)：如果X,Y是独立的随机变量，且S=X+Y是正态分布，那么X,Y也是正态分布

如果X,Y独立且满足正态分布N(μ,σ2)，那么X+Y,X−Y独立且同分布，而正态分布是唯一满足这一性质的概率分布

对于两个正态分布X,Y,如果X,Y不相关则意味着X,Y独立，而正态分布是唯一满足这一性质的概率分布