最接近点对问题

一维最临近点对
假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2 ，基于平衡子问题的思想，用S中各点坐标的中位数来作分割点。
递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2}，并设d=min{|p1-p2|,|q1-q2|}，S中的最接近点对或者是{p1,p2}，或者是{q1,q2}，或者是某个{p3,q3}，其中p3∈S1且q3∈S2。如果S的最接近点对是{p3,q3}，即|p3-q3|<d，则p3和q3两者与m的距离不超过d，即p3∈(m-d,m]，q3∈(m,m+d]。



由于在S1中，每个长度为d的半闭区间至多包含一个点（否则必有两点距离小于d），并且m是S1和S2的分割点，因此(m-d,m]中至多包含S中的一个点。由图可以看出，如果(m-d,m]中有S中的点，则此点就是S1中最大点。因此，我们用线性时间就能找到区间(m-d,m]和(m,m+d]中所有点，即p3和q3。从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由s1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对。如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中，则问题很容易解决。但是，如果这2个点分别在S1和S2中，则仍需做N2／4次计算和比较才能确定。
二维的情形:

选取一垂直线l：x=m来作为分割直线。其中m为s中各点x坐标的中位数。 S1={p∈s∣x(p)≤m}   S2={p∈s∣x(p)>m}      ， S=s1∪s2

   递归地在S1和S2上解最接近点对问题，我们分别得到S1和S2中的最小距离δl和δ2。现设δ＝min(δl，δ2)。若S的最接近点对(p，q)之间的距离d(p，q)< δ，则p和q必分属于Sl和S2。

设p∈S1，q∈S2那么，p和q距直线l的距离均小于δ。因此，我们若用P1和P2分别表示直线l左边和右边的宽为δ的2个垂直长条,则p∈P1,q∈P2,   如下图所示



考虑P1中任意一点p，它若与P2中的点q 构成最接近点对的候选者，则必有d(p，g)< δ。这样的点一定落在一个δ×2δ的矩形R中，如图所示



由δ的意义可知,P2中任何两个S中的点的距离都不小于δ.由此矩形R中最多只有6 个S中的点.如图



证明:将矩形R的长为2d的边3等分，将它的长为d的边2等分，由此导出6个(d/2)×(2d/3)的矩形。若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知至少有一个(d/2)×(2d/3)的小矩形中有2个以上S中的点。设u，v是位于同一小矩形中的2个点，则



distance(u,v)<d。这与d的意义相矛盾。分治法合并时，检验6×n/2=3n对侯选者 ，在O(n)时间内完成合并。