LightOJ 1032 Fast Bit Calculations(数位DP)

题意：给一个n，问从0~n的所有数，二进制包含的"11"一共有多少个。

思路：dp[i][j]维护长度为i，以j开头(0<=j<=1)，包含的"11"有多少。那么有转移方程：

dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1];

dp[i][1] = dp[i][0] + (1 << (i - 2));

j == 0时，显然，直接从dp[i-1]为多少dp[i][0]就有多少。j==1时，除了包含dp[i-1]的情况，还要考虑，当digit[i-1]也为1时，此时digit[i]与digit[i-1]组成一个"11"，那么显然要加上(1 << (i - 2))。即以digit[i] digit[i-1]开头的数有这么多个。

算答案时，对于一个n，如果对应位为1，即(1 << i) & n == 1，此时长度为i + 1,首先它一定包含了比(1 << i)小的情况，即dp[i+1][0]。由于我们是从数的高位向低位算的，我们定义一个cnt表示到这位之前已经出现的"11"对数。那么显然又需加上cnt * (1 << i)。同时考虑此位是否与上一位组成一个"11"，如果是，则cnt ++。

需要注意我们每次加和的都是数到当前位时比它小的情况，也就是说，我们没有考虑n本身。因此最后加上cnt，即n包含的“11”个数。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;

typedef long long LL;
#define mem(a, n) memset(a, n, sizeof(a))
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define si(a) scanf("%d", &a)
#define sii(a, b) scanf("%d%d", &a, &b)
#define siii(a, b, c) scanf("%d%d%d", &a, &b, &c)
#define pb push_back
#define eps 1e-8
const int inf = 0x3f3f3f3f, N = 50 + 5, MOD = 1e9 + 7;

int T, cas = 0;
int n, m;
LL dp
[2];
void init() {
for(int i = 2; i < 32; i ++) {
dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1];
dp[i][1] = dp[i][0] + (1 << (i - 2));
}
}

int main(){
#ifdef LOCAL
freopen("/Users/apple/input.txt", "r", stdin);
//  freopen("/Users/apple/out.txt", "w", stdout);
#endif

init();
si(T);
while(T --) {
si(n);
LL ans = 0, cnt = 0;
for(int i = 31; i >= 0; i --) {
if(n & (1 << i)) {
ans += dp[i+1][0] + cnt * (1 << i);
if((1 << (i + 1)) & n) cnt ++;
}
}
ans += cnt;
printf("Case %d: %lld\n", ++ cas, ans);
}

return 0;
}

下面考虑用记忆化搜索的方式。

我们dp[i][j]表示的意义不变。思路和之前的差不多，扔是从高位往低位推。flag表示每一位到没到头。没有到头的话仍是加上(1 << (i - 2))，否则要算一下。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;

typedef long long LL;
#define mem(a, n) memset(a, n, sizeof(a))
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define si(a) scanf("%d", &a)
#define sii(a, b) scanf("%d%d", &a, &b)
#define siii(a, b, c) scanf("%d%d%d", &a, &b, &c)
#define pb push_back
#define eps 1e-8
const int inf = 0x3f3f3f3f, N = 50 + 5, MOD = 1e9 + 7;

int T, cas = 0;
int n, m;
LL dp
[2], digit
, num;
LL dfs(int i, int k, bool flag) {
if(i == 1) return 0;
LL& ret = dp[i][k], tmp = 0;
if(!flag && ~ret) return ret;

int ed = flag ? digit[i-1] : 1;
for(int j = 0; j <= ed; j ++) {
bool ok = (flag && j == ed);
tmp += dfs(i - 1, j, ok);
if(j == 1 && k == 1) {
if(ok) tmp += num % (1 << (i - 2)) + 1;
else tmp += (1 << (i - 2));
}
}
if(!flag) ret = tmp;
return tmp;
}

LL cal(LL x) {
int len = 0;
num = x;
while(x) {
digit[++ len] = x & 1;
x >>= 1;
}
return dfs(len + 1, 0, 1);
}

int main(){
#ifdef LOCAL
freopen("/Users/apple/input.txt", "r", stdin);
//  freopen("/Users/apple/out.txt", "w", stdout);
#endif

mem(dp, -1);
si(T);
while(T --) {
si(n);
printf("Case %d: %lld\n", ++ cas, cal((LL)n));
}

return 0;
}