分治法求解集合的众数及其重数

1、 分治法

分治法解题过程主要分为分、治、合三个步骤“，应用该方法的基本过程如下：

（1） 将原问题分解为若干个规模较小的子问题

（2） 对这些子问题分别求解

（3） 对各个子问题的解进行合并

2、 众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫众数。有时一组数据中有多个众数。

重数：重数是指该众数出现的次数。

3、 根据以下实例理解分治法求解众数及其重数

给定含有n个元素的多重集合S，每个元素在S中出现的次数称为该元素的重数。多重集S中重数最大的元素称为众数。

例如，S = {1,2,2,2,3,5}。

多重集S的众数是2，其重数是3.

数据输入：6 1 2 2 2 3 5

结果输出：2 3

（1） 首先讲一下我在解决这个问题是参考的网上的答案，代码如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define M 20
int number=0;//number表示众数
int sum=0;//sum表示该众数的重数
int Partition(int a[],int p,int r)//在a[p]到a[r-1]中随机选择一个元素作为主元
{   int x=a[r-1];
int i=p-1;
int temp,j;
for(j=p;j<=r-2;j++)
{   if(a[j]<=x)
{   i++;
temp=a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=temp;
}
}
temp=a[i+1];
a[i+1]=a[r-1];
a[r-1]=temp;
return i+1;
}
int Count(int a[],int x,int p,int r)//统计数组中与x相等的元素的个数并返回
{
int count=0,i;
for( i=p;i<r;i++)
{
if(a[i]==x)
count++;
}
return count;
}
void Modal(int a[],int p,int r)//通过分治法得到数组的众数和该众数的重数
{
if(p<r)
{
int q=Partition(a,p,r);//统计分解法的主元出现的个数
int temp=Count(a,a[q],p,q+1);
if(sum<temp)
{
sum=temp;
number=a[q];
}
if(q-p-sum>sum)//如果该元素以左的个数大于重数，向左递归
Modal(a,p,q);
else if(r-q-1>sum)//如果该元素以右的个数大于重数，向右递归
Modal(a,q+1,r);
}
}
int main()
{
int num[M],temp,n;
int i=0,j=0;

scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&num[i]);
}
printf("\n");
Modal(num,0,n);
printf("众数为：%d\n",number);
printf("\n");
printf("重数为：%d\n",sum);
}

【我的理解】这的确是个分治法求解众数及其重数的算法，而且设计过程中充分地考虑了已经求解了的问题，利用已求解问题尽量排出不必要的运算。但是该实现有很大的问题，用一些数组进行测试就可以发现，如用int[] num = {1,2,7,7,3,5};进行测试，将无法得到正确答案。

（2） 站在巨人的肩膀上，我对以上实现进行了改进:

上面参考答案使用c语言来实现的，我这里用java进行实现，其实这并不影响算法的理解。

public class SearchMode_2
{
static int number = 0;// number表示众数
static int sum = 0;// sum表示该众数的重数

/*
* 将数组a[]中从第p个到第r个数据已最后一个数据为主元素进行排序。
* 主元素左边的为小于或等于主元素的元素，右边为大于主元素的元素
*
* 注意主元素两侧的数据是没有排好序的。这也就是在递归调用Modal()方法是只能+1或者-1而不是-temp的原因。
*/
int Partition(int a[], int p, int r)// 在a[p]到a[r]中随机选择一个元素作为主元
{
int x = a[r];
int i = p - 1;
int temp, j;
for (j = p; j <= r - 1; j++)
{
if (a[j] <= x)
{
i++;
temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
}
temp = a[i + 1];
a[i + 1] = a[r];
a[r] = temp;
return i + 1;
}

//统计数组a[]中从从第p个到第r个数据中有几个等于X
int Count(int a[], int x, int p, int r)// 统计数组中与x相等的元素的个数并返回
{
int count = 0, i;
for (i = p; i <= r; i++)
{
if (a[i] == x)
count++;
}
return count;
}

//递归调用该方法找出众数number及其重数sum
void Modal(int a[], int p, int r)// 通过分治法得到数组的众数和该众数的重数
{
if (p < r)
{
int q = Partition(a, p, r);// 统计分解法的主元出现的个数
int temp = Count(a, a[q], p, q);
if (sum < temp)
{
sum = temp;
number = a[q];
}
//if (q - p + 1 - temp > sum) // 如果该元素以左的个数大于重数，向左递归
Modal(a, p, q - 1);
//else if (r - q > sum) // 如果该元素以右的个数大于重数，向右递归
Modal(a, q + 1, r);
}
}

public static void main(String[] args)
{
int[] num = {2,4,7,8,5,6,5,5,6,7,1};
//      int[] num = {1,2,7,7,3,5};
//      int[] num = {3,6,7,6,4,5};
SearchMode_2 SearchMode_2 = new SearchMode_2();
SearchMode_2.Modal(num,0,num.length-1);

System.out.println("众数为: "+ number);
System.out.println("重数为: "+ sum);
}

}

对比上下两份代码可知，我把上面代码的Modal()方法中的判断删除了，并对递归调用时的参数进行了适当的修改，以减少不必要的运算。

希望以上代码对你有帮助，同时也感谢网友提供的参考代码。如有不同意见或者发现错误之处，欢迎指正。