HDU 5514 【2015沈阳现场赛 F】 Frogs

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5514

纪念在赛场上逝去的3个小时。。。

题目

有N≤104 个青蛙，M≤109 个石头, 第i只青蛙一次能跳ai≤109 步，所有青蛙一开始在石头0， 可以跳任意次数， 问最后所有被跳过的石头的编号之和。

题解

易知，令ai=gcd(ai,M)不会影响答案

现在即要求：∑⋃{kai}k≤Mai

做法是：

1. 先标记所有f[ai]=1

2. 对每个f[x]=1，有f[x×factM]=1

3. 接下来计算答案：对每个f[x]=1的x，要统计出所有满足gcd(k,Mx)=1(k≤Mx)的xk(k≤Mx)的和（这样保证不会重复，即约数x对答案单独的贡献）

4. 由定理知gcd(k,N)=1的k的和为ϕ(n)×n2（因为与N互素的数能两两配对和为N，而当N为>2的偶数时，N/2不与N互素，当N=2时特判满足公式）

5. 答案即为∑f[x]=1ϕ(Mx)×Mx2

注意：

第二步从小到大枚举x，可以讲factM进一步化为priM，即M的质因子

ϕ()能由积性函数性质快速求出ϕ(factM)

code

#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <string>
#include <vector>

typedef long long LL;

const int maxn = 10010;

int n, m;
int a[maxn];

int pri[20], pri_N;

void get_pri(int n) {
for (int p = 2; p*p <= n && n > 1; ++ p) {
if (n%p == 0) {
pri[pri_N ++] = p;
while (n%p == 0) n /= p;
}
}
if (n > 1) pri[pri_N ++] = n;
}
int phi(int n) {
int res = n;
for (int p = 2; p*p <= n && n > 1; ++ p) {
if (n%p == 0) {
res = res / p * (p-1);
while (n%p == 0) n /= p;
}
}
if (n > 1) res = res / n * (n-1);
return res;
}

LL res;

std::set<int> f;
typedef std::set<int>::iterator IT;

int gcd(int a, int b) { while (b) { int c = a; a = b; b = c%b; } return a; }

void solve() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i < n; ++ i) { scanf("%d", &a[i]); a[i] = gcd(a[i], m); }

pri_N = 0;
get_pri(m);

res = 0; f.clear();
for (int i = 0; i < n; ++ i) f.insert(a[i]);
for (IT it = f.begin(); it != f.end(); ++ it) {
for (int i = 0; i < pri_N; ++ i) if (m % ((LL)*it * pri[i]) == 0)
f.insert((LL)*it * pri[i]);

LL s = (LL)m / *it * phi(m / *it) / 2;
res += s * *it;
}
printf("%I64d\n", res);
}

int main() {
//  freopen("F.in", "r", stdin);

int kase, i = 0; scanf("%d", &kase);
while (kase --) {
printf("Case #%d: ", ++ i);
solve();
}

//  for(;;);
return 0;
}