对一道数论题的推演
2015-11-12 19:09
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求：∑i=1ni[gcd(i,n)=1]
S=∑i=0n(n−i)[gcd(n−i,n)=1]
由欧几里得算法可知：gcd(a,b)=gcd(b,a−b)
S=∑i=0n(n−i)[gcd(i,n)=1]
故2S=∑i=0nn[gcd(i,n)=1]=n∑i=0n[gcd(i,n)=1]=n(ϕ(n)+[n=1])
即∑i=1ni[gcd(i,n)=1]=n(ϕ(n)+[n=1])2
求法1
令S=∑i=1ni[gcd(i,n)=1]=∑i=0ni[gcd(i,n)=1]S=∑i=0n(n−i)[gcd(n−i,n)=1]
由欧几里得算法可知：gcd(a,b)=gcd(b,a−b)
S=∑i=0n(n−i)[gcd(i,n)=1]
故2S=∑i=0nn[gcd(i,n)=1]=n∑i=0n[gcd(i,n)=1]=n(ϕ(n)+[n=1])
即∑i=1ni[gcd(i,n)=1]=n(ϕ(n)+[n=1])2
求法2
f(n)=========∑i=1ni[gcd(i,n)=1]∑i=1ni∑dμ(d)[d|i][d|n]∑d|nμ(d)∑i=1n[d|i]i∑d|nμ(d)∑i=1ndid∑d|ndμ(d)∑i=1ndi∑d|ndμ(d)nd(nd+1)2n2∑d|nμ(d)(nd+1)n2ϕ(n)+n2∑d|nμ(d)n(ϕ(n)+[n=1])2
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