学习笔记-二分图匹配（匈牙利算法)

居然在今天才知道二分图匹配也在NOIP范围内，吓死宝宝了，所以晚上弃颓学习了一下

匈牙利算法是利用增广路来求最大匹配的，关于增广路有如下性质：

(1)有奇数条边。

(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。

(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。

(4)整条路径上没有重复的点。

(5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。

(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。

(7)最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原

匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。

同时从网上了解到有部分题目可以转换求最大匹配来做：

(1)二分图的最小顶点覆盖

最小顶点覆盖要求用最少的点（X或Y中都行），让每条边都至少和其中一个点关联。

Knoig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于二分图的最大匹配数。

(2)DAG图的最小路径覆盖

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。

结论：DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）

(3)二分图的最大独立集

最大独立集问题： 在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值

结论：二分图的最大独立集数 = 节点数（n）— 最大匹配数（m）

PS算法运算过程http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547

模板：

bool find(int x)//调用的函数
{
for (int i=1; i<=n; i++)//依次枚举每个点
if (f[x][i]==true && used[i]==false)//f【x】【i】表示二分图中第一个集合里的x点和第二个集合里的i点十分联通  used表示这个点是否被用过
{
used[i]=true;
if (part[i]==0 || find(part[i])==true)//递归调用判断是否能放 part【i】表示节点i对应的那个点
{
part[i]=x;
return true;
}
}
return false;
}

主程序中调用为：

int ans=0;//匹配数归零
for (int i=1; i<=m; i++)
{
**memset(used,false,sizeof(used));//注意必须每步都清零，不然会出错**
if (find(i)==true)
ans++;
}