[置顶] 【算法】Fibonacci解法总结

我这里说的Fibonacci数列不仅仅是f(n-1) + f(n-2)的情况，也可以是f(n-1) + f(n-2) + … + f(n-k)的情况。但是这里我们用f(n-1) + f(n-2)来进行讨论，简化理解，举一反三。

解法一，递归

实现非常简单。

int fibonacci(int i){
if(i==0){
return 0;
}else if(i==1){
return 1;
}else {
return fibonacci(i-1)+fibonacci(i-2);
}
}
}

解法二，动态规划

核心代码如下：

long array[]=new long [n+1];
array[0]=0;
array[1]=1;
for(int i=2;i<n+1;i++){
array[i]=array[i-1]+array[i-2];
}

这种解法与递归解法相比，具有非常大的性能提升。

解法三，动归优化

将空间优化到O(1)：

int fib(int n) {
int last, nextToLast, answer = 0;
if (n <= 1) {
return 1;
}
last = nextToLast = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
//f(n)=f(n-1)+f(n-2)
answer = last + nextToLast;
//f(n-2)=f(n-1)
nextToLast = last;
//f(n-1)=f(n)
last = answer;
}
return answer;
}

解法四，特殊解法

这种解法可以将时间复杂度优化到O(logn)，牛客网的左老师书上讲的非常清楚，这里直接借助过来以供参考：

/*
下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法:

对于斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定义:

F( n ) = F( n-1 ) + F( n-2 )
F( 1 ) = 1
F( 2 ) = 1

矩阵形式：

[ F( n+1 ) ,  F( n ) ] = [ F( n ) , F( n-1 ) ] * Q  其中 [ F( n+1 ) ,  F( n ) ]为行向量，Q = { [ 1, 1 ]; [ 1, 0 ] }为矩阵

则 [ F( n+1 ) , F( n ) ]=[ 1 , 0 ] * Qn ,
*/

struct Matrix
{
long long m_00, m_01, m_10, m_11;
　　 Matrix ( long long m00 = 0,  long long m01 = 0,  long long m10 = 0,   long long m11 = 0 )
:m_00( m00 ), m_01( m01 ), m_10( m10 ), m_11( m11 )
{
}
};

Matrix MatrixMultiply (  const Matrix & m1, const Matrix & m2    ）
{
　　long long m00 = m1.m_00 * m2.m_00 + m1.m_01 * m2.m_10;
　　long long m01 = m1.m_00 * m2.m_01 + m1.m_01 * m2.m_11;
　　long long m10 = m1.m_10 * m2.m_00 + m1.m_11 * m2.m_10
　　long long m11 = m1.m_10 * m2.m_01 + m1.m_11 * m2.m_11;
return Matrix ( m00,  m01,  m10, m11 );
}

Matrix MatrixPower( unsigned int n )
{
assert(n > 0);
Matrix m;
if( n == 1)
{
m = Matrix(1, 1, 1, 0);
}
else if(n % 2 == 0)
{
m = MatrixPower( n / 2 );
m = MatrixMultiply( matrix, matrix );
}
else if( n % 2 == 1 )
{
m = MatrixPower( (n - 1) / 2 );
m = MatrixMultiply( m, m );
m = MatrixMultiply( m, Matrix( 1, 1, 1, 0 ) );
}
return m;
}
long long Fibonacci( unsigned int n )
{
int result[2] = { 0, 1 };
if( n < 2 )
return result[ n ];

Matrix Q = MatrixPower( n - 1 );　　//注意：按定义式应该用[ 1, 0 ]*Q, 或者等价于{ [ 1 , 0 ]; [ 0, 0 ] }*Q, 但是因为显然结果相同，所以略去这一步。
return Q.m_00;
}

总结

我觉得Fibonacci数列对于理解动态规划也是非常重要，动态规划的本质就是在递归中优化而来的。

Fibonacci问题还可以用来解上台阶问题，硬币面值组合问题。