矩阵分解在推荐系统中的应用:NMF和经典SVD实战(2)
2015-10-26 16:04
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本文以NMF和经典SVD为例,讲一讲矩阵分解在推荐系统中的应用。
关于NMF,在隐语义模型和NMF(非负矩阵分解)已经有过介绍。
运行后输出:
可视化物品的主题分布:
结果:
从距离的角度来看,item 5和item 6比较类似;从余弦相似度角度看,item 2、5、6 比较相似,item 1、3比较相似。
可视化用户的主题分布:
结果:
从距离的角度来看,Fred、Ben、Tom的口味差不多;从余弦相似度角度看,Fred、Ben、Tom的口味还是差不多。
现在对于用户A,如何向其推荐物品呢?
方法1: 找出与用户A最相似的用户B,将B评分过的、评分较高、A没评分过的的若干物品推荐给A。
方法2: 找出用户A评分较高的若干物品,找出与这些物品相似的、且A没评分的若干物品推荐给A。
方法3: 找出用户A最感兴趣的k个主题,找出最符合这k个主题的、且A没评分的若干物品推荐给A。
方法4: 由NMF得到的两个矩阵,重建评分矩阵。例如:
运行结果:
对于Tom(评分矩阵的第2行),其未评分过的物品是item 2、item 3、item 4。item 2的推荐值是
3的推荐值是
4的推荐值是
2。
NMF是将非负矩阵V分解为两个非负矩阵W和H:
在本文上面的实现中,V对应评分矩阵,W是用户的主题分布,H是物品的主题分布。
对于有评分记录的新用户,如何得到其主题分布?
方法1: 有评分记录的新用户的评分数据放入评分矩阵中,使用NMF处理新的评分矩阵。
方法2: 物品的主题分布矩阵H保持不变,将V更换为新用户的评分组成的行向量,求W即可。
下面尝试一下方法2。
设新用户Bob的评分记录为:
运行结果是:
关于SVD的一篇好文章:强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用。
相关分析与上面类似,这里就直接上代码了。
运行结果:
可视化一下:
do I use the SVD in collaborative filtering?有这方面的讨论。
SVD的目标是将
A=U∗S∗VT
U和V都是正交矩阵,大小分别是
取
取得U的前k列得到Uk,S的前k个奇异值对应的方形矩阵得到Sk,VT的前k行得到VTk,于是有
Ak=Uk∗Sk∗VTk
Ak可以认为是A的近似。
下面的算法将协同过滤和SVD结合了起来。
这个算法来自下面这篇论文:
Vozalis M G, Margaritis K G. Applying SVD on Generalized Item-based Filtering[J]. IJCSA, 2006, 3(3): 27-51.
1、 设评分矩阵为
2、 预处理
计算
计算
3、 对Rnorm进行奇异值分解,得到: Rnorm=U∗S∗VT
4、 设正整数k,取得U的前k列得到Uk,S的前k个奇异值对应的方形矩阵得到Sk,VT的前k行得到VTk,于是有
Rred=Uk∗Sk∗VTk
red,即dimensionality reduction中的reduction。可以认为k是指最重要的k个主题。定义Rred中元素rrij用户i对物品j在矩阵Rred中的值。
5、 Uk∗S12k,是用户相关的降维后的数据,其中的每行代表着对应用户在新特征空间下位置。S12k∗VTk,是物品相关的降维后的数据,其中的每列代表着对应物品在新特征空间下的位置。
S12k∗VTk中的元素mrij代表
6、 获取物品之间相似度。
根据S12k∗VTk计算物品之间的相似度,例如使用余弦相似度计算物品j和f的相似度:
相似度计算出来后就可以得到每个物品最相似的若干物品了。
7、 使用下面的公式预测用户a对物品j的评分:
这个公式里有些变量的使用和上面的冲突了(例如k)。 l是指取物品j最相似的l个物品。 mrij代表
SVD
Recommendation System in Ruby 这篇文章使用的数据来自该链接,里面处理新用户的方法表示没看懂。
How
do I use the SVD in collaborative filtering?
Vozalis M G, Margaritis K G. Applying SVD on Generalized Item-based Filtering[J]. IJCSA, 2006, 3(3): 27-51.
数据
item\user | Ben | Tom | John | Fred |
---|---|---|---|---|
item 1 | 5 | 5 | 0 | 5 |
item 2 | 5 | 0 | 3 | 4 |
item 3 | 3 | 4 | 0 | 3 |
item 4 | 0 | 0 | 5 | 3 |
item 5 | 5 | 4 | 4 | 5 |
item 6 | 5 | 4 | 5 | 5 |
user\item | item 1 | item 2 | item 3 | item 4 | item 5 | item 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
Ben | 5 | 5 | 3 | 0 | 5 | 5 |
Tom | 5 | 0 | 4 | 0 | 4 | 4 |
John | 0 | 3 | 0 | 5 | 4 | 5 |
Fred | 5 | 4 | 3 | 3 | 5 | 5 |
NMF
关于NMF,在隐语义模型和NMF(非负矩阵分解)已经有过介绍。
用户和物品的主题分布
#!/usr/bin/python2.7 # coding: UTF-8 import numpy as np from sklearn.decomposition import NMF import matplotlib.pyplot as plt RATE_MATRIX = np.array( [[5, 5, 3, 0, 5, 5], [5, 0, 4, 0, 4, 4], [0, 3, 0, 5, 4, 5], [5, 4, 3, 3, 5, 5]] ) nmf = NMF(n_components=2) # 设有2个隐主题 user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX) item_distribution = nmf.components_ print '用户的主题分布:' print user_distribution print '物品的主题分布:' print item_distribution
运行后输出:
用户的主题分布: [[ 2.20884275 0.84137492] [ 2.08253282 -0. ] [-0. 3.18154406] [ 1.84992603 1.60839505]] 物品的主题分布: [[ 2.4129931 1.02524235 1.62258152 0. 1.80111078 1.69591943] [ 0.0435741 1.13506094 0. 1.54526337 1.21253494 1.48756118]]
可视化物品的主题分布:
#!/usr/bin/python2.7 # coding: UTF-8 import numpy as np from sklearn.decomposition import NMF import matplotlib.pyplot as plt RATE_MATRIX = np.array( [[5, 5, 3, 0, 5, 5], [5, 0, 4, 0, 4, 4], [0, 3, 0, 5, 4, 5], [5, 4, 3, 3, 5, 5]] ) nmf = NMF(n_components=2) user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX) item_distribution = nmf.components_ item_distribution = item_distribution.T plt.plot(item_distribution[:, 0], item_distribution[:, 1], "b*") plt.xlim((-1, 3)) plt.ylim((-1, 3)) plt.title(u'the distribution of items (NMF)') count = 1 for item in item_distribution: plt.text(item[0], item[1], 'item '+str(count), bbox=dict(facecolor='red', alpha=0.2),) count += 1 plt.show()
结果:
从距离的角度来看,item 5和item 6比较类似;从余弦相似度角度看,item 2、5、6 比较相似,item 1、3比较相似。
可视化用户的主题分布:
#!/usr/bin/python2.7 # coding: UTF-8 import numpy as np from sklearn.decomposition import NMF import matplotlib.pyplot as plt RATE_MATRIX = np.array( [[5, 5, 3, 0, 5, 5], [5, 0, 4, 0, 4, 4], [0, 3, 0, 5, 4, 5], [5, 4, 3, 3, 5, 5]] ) nmf = NMF(n_components=2) user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX) item_distribution = nmf.components_ users = ['Ben', 'Tom', 'John', 'Fred'] zip_data = zip(users, user_distribution) plt.title(u'the distribution of users (NMF)') plt.xlim((-1, 3)) plt.ylim((-1, 4)) for item in zip_data: user_name = item[0] data = item[1] plt.plot(data[0], data[1], "b*") plt.text(data[0], data[1], user_name, bbox=dict(facecolor='red', alpha=0.2),) plt.show()
结果:
从距离的角度来看,Fred、Ben、Tom的口味差不多;从余弦相似度角度看,Fred、Ben、Tom的口味还是差不多。
如何推荐
现在对于用户A,如何向其推荐物品呢?方法1: 找出与用户A最相似的用户B,将B评分过的、评分较高、A没评分过的的若干物品推荐给A。
方法2: 找出用户A评分较高的若干物品,找出与这些物品相似的、且A没评分的若干物品推荐给A。
方法3: 找出用户A最感兴趣的k个主题,找出最符合这k个主题的、且A没评分的若干物品推荐给A。
方法4: 由NMF得到的两个矩阵,重建评分矩阵。例如:
#!/usr/bin/python2.7 # coding: UTF-8 import numpy as np from sklearn.decomposition import NMF import matplotlib.pyplot as plt RATE_MATRIX = np.array( [[5, 5, 3, 0, 5, 5], [5, 0, 4, 0, 4, 4], [0, 3, 0, 5, 4, 5], [5, 4, 3, 3, 5, 5]] ) RATE_MATRIX[1, 2] = 0 # 对评分矩阵略做修改 print '新评分矩阵:' print RATE_MATRIX nmf = NMF(n_components=2) user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX) item_distribution = nmf.components_ reconstruct_matrix = np.dot(user_distribution, item_distribution) filter_matrix = RATE_MATRIX < 1e-6 # 小于0 print '重建矩阵,并过滤掉已经评分的物品:' print reconstruct_matrix*filter_matrix
运行结果:
新评分矩阵: [[5 5 3 0 5 5] [5 0 0 0 4 4] [0 3 0 5 4 5] [5 4 3 3 5 5]] 重建矩阵,并过滤掉已经评分的物品: [[ 0. 0. 0. 0.80443133 0. 0. ] [ 0. 2.19148602 1.73560797 0. 0. 0. ] [ 0.02543568 0. 0.48692891 0. 0. 0. ] [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. ]]
对于Tom(评分矩阵的第2行),其未评分过的物品是item 2、item 3、item 4。item 2的推荐值是
2.19148602,item
3的推荐值是
1.73560797,item
4的推荐值是
0,若要推荐一个物品,推荐item
2。
如何处理有评分记录的新用户
NMF是将非负矩阵V分解为两个非负矩阵W和H:V = W×H
在本文上面的实现中,V对应评分矩阵,W是用户的主题分布,H是物品的主题分布。
对于有评分记录的新用户,如何得到其主题分布?
方法1: 有评分记录的新用户的评分数据放入评分矩阵中,使用NMF处理新的评分矩阵。
方法2: 物品的主题分布矩阵H保持不变,将V更换为新用户的评分组成的行向量,求W即可。
下面尝试一下方法2。
设新用户Bob的评分记录为:
[5,5,0,0,0,5]
#!/usr/bin/python2.7 # coding: UTF-8 import numpy as np from sklearn.decomposition import NMF import matplotlib.pyplot as plt RATE_MATRIX = np.array( [[5, 5, 3, 0, 5, 5], [5, 0, 4, 0, 4, 4], [0, 3, 0, 5, 4, 5], [5, 4, 3, 3, 5, 5]] ) nmf = NMF(n_components=2) user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX) item_distribution = nmf.components_ bob = [5, 5, 0, 0, 0, 5] print 'Bob的主题分布:' print nmf.transform(bob)
运行结果是:
Bob的主题分布: [[ 1.37800534 0.69236738]]
经典SVD
关于SVD的一篇好文章:强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用。相关分析与上面类似,这里就直接上代码了。
#!/usr/bin/python2.7 # coding: UTF-8 import numpy as np from scipy.sparse.linalg import svds from scipy import sparse import matplotlib.pyplot as plt def vector_to_diagonal(vector): """ 将向量放在对角矩阵的对角线上 :param vector: :return: """ if (isinstance(vector, np.ndarray) and vector.ndim == 1) or \ isinstance(vector, list): length = len(vector) diag_matrix = np.zeros((length, length)) np.fill_diagonal(diag_matrix, vector) return diag_matrix return None RATE_MATRIX = np.array( [[5, 5, 3, 0, 5, 5], [5, 0, 4, 0, 4, 4], [0, 3, 0, 5, 4, 5], [5, 4, 3, 3, 5, 5]] ) RATE_MATRIX = RATE_MATRIX.astype('float') U, S, VT = svds(sparse.csr_matrix(RATE_MATRIX), k=2, maxiter=200) # 2个隐主题 S = vector_to_diagonal(S) print '用户的主题分布:' print U print '奇异值:' print S print '物品的主题分布:' print VT print '重建评分矩阵,并过滤掉已经评分的物品:' print np.dot(np.dot(U, S), VT) * (RATE_MATRIX < 1e-6)
运行结果:
用户的主题分布: [[-0.22279713 0.57098887] [-0.51723555 0.4274751 ] [ 0.82462029 0.38459931] [ 0.05319973 0.58593526]] 奇异值: [[ 6.39167145 0. ] [ 0. 17.71392084]] 物品的主题分布: [[-0.53728743 0.24605053 -0.40329582 0.67004393 0.05969518 0.18870999] [ 0.44721867 0.35861531 0.29246336 0.20779151 0.50993331 0.53164501]] 重建评分矩阵,并过滤掉已经评分的物品: [[ 0. 0. 0. 1.14752376 0. 0. ] [ 0. 1.90208543 0. -0.64171368 0. 0. ] [ 0.21491237 0. -0.13316888 0. 0. 0. ] [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. ]]
可视化一下:
经典SVD + 协同过滤
0代表没有评分,但是上面的方法(
如何推荐这一节的
方法4)又确实把0看作了评分,所以最终得到的只是一个推荐值(而且总体都偏小),而无法当作预测的评分。在How
do I use the SVD in collaborative filtering?有这方面的讨论。
SVD简要介绍
SVD的目标是将m*n大小的矩阵A分解为三个矩阵的乘积:
A=U∗S∗VT
U和V都是正交矩阵,大小分别是
m*m、
n*n。S是一个对角矩阵,大小是
m*n,对角线存放着奇异值,从左上到右下依次减小,设奇异值的数量是
r。
取
k,
k<<r。
取得U的前k列得到Uk,S的前k个奇异值对应的方形矩阵得到Sk,VT的前k行得到VTk,于是有
Ak=Uk∗Sk∗VTk
Ak可以认为是A的近似。
下面的算法将协同过滤和SVD结合了起来。
Item-based Filtering Enhanced by SVD
这个算法来自下面这篇论文:Vozalis M G, Margaritis K G. Applying SVD on Generalized Item-based Filtering[J]. IJCSA, 2006, 3(3): 27-51.
1、 设评分矩阵为
R,大小为
m*n,m个用户,n个物品。
R中元素rij代表着用户ui对物品ij的评分。
2、 预处理
R,消除掉其中未评分数据(即值为0)的评分。
计算
R中每一行的平均值(平均值的计算中不包括值为0的评分),令Rfilled−in=R,然后将Rfilled−in中的0设置为该行的平均值。
计算
R中每一列的平均值(平均值的计算中不包括值为0的评分)ri,Rfilled−in中的所有元素减去对应的ri,得到正规化的矩阵Rnorm。(norm,即normalized)。
3、 对Rnorm进行奇异值分解,得到: Rnorm=U∗S∗VT
4、 设正整数k,取得U的前k列得到Uk,S的前k个奇异值对应的方形矩阵得到Sk,VT的前k行得到VTk,于是有
Rred=Uk∗Sk∗VTk
red,即dimensionality reduction中的reduction。可以认为k是指最重要的k个主题。定义Rred中元素rrij用户i对物品j在矩阵Rred中的值。
5、 Uk∗S12k,是用户相关的降维后的数据,其中的每行代表着对应用户在新特征空间下位置。S12k∗VTk,是物品相关的降维后的数据,其中的每列代表着对应物品在新特征空间下的位置。
S12k∗VTk中的元素mrij代表
物品j在新空间下
维度i中的值,也可以认为是
物品j属于
主题i的程度。(共有k个主题)。
6、 获取物品之间相似度。
根据S12k∗VTk计算物品之间的相似度,例如使用余弦相似度计算物品j和f的相似度:
相似度计算出来后就可以得到每个物品最相似的若干物品了。
7、 使用下面的公式预测用户a对物品j的评分:
这个公式里有些变量的使用和上面的冲突了(例如k)。 l是指取物品j最相似的l个物品。 mrij代表
物品j在新空间下
维度i中的值,也可以认为是
物品j属于
主题i的程度。 simjk是物品j和物品k的相似度。 Rred中元素rrak是用户a对物品k在矩阵Rred中对应的评分。ra¯是指用户a在评分矩阵R中评分的平均值(平均值的计算中不包括值为0的评分)。
参考
SVDRecommendation System in Ruby 这篇文章使用的数据来自该链接,里面处理新用户的方法表示没看懂。
How
do I use the SVD in collaborative filtering?
Vozalis M G, Margaritis K G. Applying SVD on Generalized Item-based Filtering[J]. IJCSA, 2006, 3(3): 27-51.
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