Noip2013火柴排队题解

题目

题目描述 Description

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为Σni=1(ai−bi)2，其中ai表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入描述 Input Description

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出描述 Output Description

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

样例输入 Sample Input

[Sample 1]

4

2 3 1 4

3 2 1 4

[Sample 2]

4

1 3 4 2

1 7 2 4

样例输出 Sample Output

[Sample 1]

1

[Sample 2]

2

数据范围及提示 Data Size & Hint

【样例1说明】

最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

【样例2说明】

最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

【数据范围】

对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；

对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；

对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤231- 1。

题解

看起来似乎要让a和b“对齐”，就是a中第i高的火柴和b中第i高的火柴在同一位置，证明用到排序不等式，如下：

记p是的一个排列，那么此时a的顺序是ap1,ap2,ap3,…,apn，此时的距离为Σni=1(api−bi)2=Σni=1(a2pi+b2i−2∗api∗bi)=Σni=1a2pi+Σni=1b2i−2∗Σni=1(api∗bi)=K−2∗Σni=1(api∗bi)

其中K是a和b中各元素的平方和，显然是一个常数。要使上式最小化，则应使Σni=1(api∗bi)最大化；由排序不等式可知，Σni=1(api∗bi)的顺序和最大，所以应该使a中第i高的火柴和b中第i高的火柴在同一位置。

那么使a中第i高的火柴和b中第i高的火柴在同一位置所需的最小交换次数即为答案。题目中说只有相邻的火柴可以相互交换，怎么这么像逆序对数？如果b有序，那没错，就是逆序对数。如果b无序呢？就当b有序好了。我们重新“定义”一下比较大小的方式，让b中的元素在这种比较方式下递增，比如样例一我们可以定义3<2<1<4。在新的比较方式下对a求逆序对数不就得到答案了吗？

然后是具体实现。首先要对a和b离散化，把a和b分别映射到区间[1,n]的整数上去，这样一来，a中第i高的火柴和b中第i高的火柴就一样高了，对应关系很好确定。然后用一种奇妙的方式对a和b进行重标号：让bi的标号是i，即f(bi)=i，然后依次求出所有f(ai)，把答案形成一个新序列并用它代替ai。在这个新序列上求逆序对数就能得到答案了。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int M = 99999997, N = 100005;
int n, a
, b
, p
, tmp
, ans;
int dis
;
void msort(int l, int r)
{
int mid = (l + r) >> 1;
if(l < r)
{
msort(l, mid); msort(mid + 1, r);
}
int i = l, j = mid + 1, k = l;
while(i <= mid && j <= r)
{
if(p[i] <= p[j]) tmp[k++] = p[i++];
else
{
ans = (ans + mid - i + 1) % M;
tmp[k++] = p[j++];
}
}
while(i <= mid) tmp[k++] = p[i++];
while(j <= r) tmp[k++] = p[j++];
for(i = l; i <= r; ++i) p[i] = tmp[i];
}
int main()
{
ans = 0;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
scanf("%d", &a[i]);
dis[i] = a[i];
}
sort(dis + 1, dis + n + 1);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
a[i] = lower_bound(dis + 1, dis + n + 1, a[i]) - dis;
}
//离散化a数组
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
scanf("%d", &b[i]);
dis[i] = b[i];
}
sort(dis + 1, dis + n + 1);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
b[i] = lower_bound(dis + 1, dis + n + 1, b[i]) - dis;
}
//离散化b数组
for(int i = 1; i <= n; ++i) dis[b[i]] = i;
for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = dis[a[i]];
//重标号，新序列记录在p数组中
msort(1, n);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}