NOIp 2009 最优贸易

题目描述 Description

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个

城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分

为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价

格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息

之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城

市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的

过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方

式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另

一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定

这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路

为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。




假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3

号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格

买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号

以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入输出格式 Input/output

输入格式：

第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的

数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城

市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，

表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市

y 之间的双向道路。

输出格式：

输出文件 trade.out 共 1 行，包含 1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，

则输出 0。

样例输入 Sample Input

5 5

4 3 5 6 1

1 2 1

1 4 1

2 3 2

3 5 1

4 5 2

样例输出 Sample Output

5

题目大意是从1到n的路径上先选择一个点权最小的，再之后选择一个点权最大的（顺序不能改变）

这样的话很容易想到用搜索去寻找路径上的最大最小值，但显然这样会很慢，甚至无法保证正确性

但其实对于每一个结点只有两种可能，一种是从这个结点购买，另一种是从这个结点卖出

对于前者，我们只需要记录从这个点往后所有点的最大值即可，用这个最大值减去当前结点点权即是在该点买东西（水晶球QAQ）在后面卖出的最大收益

同理，如果该点为卖出的结点，那么只需要记录在这个点之前所有点权的最小值，用该结点点权减去最小值即是在该点卖出（水晶球！！！）的最大收益

这样的话，在读入时双向建边，在起点和终点分别跑一遍spfa，记录每个点往前的最小值和往后的最大值，取max即可

[code]#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1245000;
struct doubi{
    int f,t,d;
}edge1[maxn],edge2[maxn];
int next1[maxn],first1[maxn],tot1;
int next2[maxn],first2[maxn],tot2;
int xl[maxn];
int n,m;
void build1(int f,int t)
{
    edge1[++tot1].f=f;
    edge1[tot1].t=t;
    next1[tot1]=first1[f];
    first1[f]=tot1;
}
void build2(int f,int t)
{
    edge2[++tot2].f=f;
    edge2[tot2].t=t;
    next2[tot2]=first2[f];
    first2[f]=tot2;
}
int dist1[maxn],dist2[maxn];
bool use[maxn];
queue<int> q;
void spfa1()
{
    memset(dist1,63,sizeof(dist1));
    memset(use,0,sizeof(use));
    dist1[1]=xl[1];
    use[1]=1;
    q.push(1);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=first1[u];i;i=next1[i]){
            int v=edge1[i].t;
            if(dist1[v]>min(dist1[u],xl[v])){
                dist1[v]=min(dist1[u],xl[v]);
                if(!use[v]){
                    use[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
}
void spfa2()
{
    memset(dist2,0xfff,sizeof(dist2));
    memset(use,0,sizeof(use));
    dist2
=xl
;
    use
=1;
    q.push(n);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=first2[u];i;i=next2[i]){
            int v=edge2[i].t;
            if(dist2[v]<max(dist2[u],xl[v])){
                dist2[v]=max(dist2[u],xl[v]);
                if(!use[v]){
                    use[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&xl[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b,x;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&x);
        if(x==1){
            build1(a,b);
            build2(b,a);
        }
        if(x==2){
            build1(a,b);
            build1(b,a);
            build2(a,b);
            build2(b,a); 
        }
    }
    spfa1();
    spfa2();
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(dist1[i]!=-1&&dist2[i]<1000000000){
            ans=max(ans,dist2[i]-dist1[i]);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}