【NOIP2009】最优贸易 最短路

题目描述 Description

【问题描述】

C 国有n 个大城市和m 条道路，每条道路连接这n 个城市中的某两个城市。任意两个

城市之间最多只有一条道路直接相连。这m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分

为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价

格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息

之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设C 国n 个城

市的标号从1~ n，阿龙决定从1 号城市出发，并最终在n 号城市结束自己的旅行。在旅游的

过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有n 个城市。阿龙通过这样的贸易方

式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另

一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来C 国旅游，他决定

这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路

为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在2 号城市以3 的价格买入水晶球，在3

号城市以5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第1 次到达5 号城市时以1 的价格

买入水晶球，在第2 次到达4 号城市时以6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号

以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入描述 Input Description

第一行包含 2 个正整数n 和m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的

数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这n 个城

市的商品价格。

接下来 m 行，每行有3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1，

表示这条道路是城市x 到城市y 之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市x 和城市

y 之间的双向道路。

输出描述 Output Description

包含1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，

则输出0。

样例输入 Sample Input

[code]5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2

样例输出 Sample Output

[code]5

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据范围】

输入数据保证 1 号城市可以到达n 号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市

水晶球价格≤100。

首先可以想到的是，有些点走到了就不能到达终点，这些点是不能进入的，所以我们可以先反向建图从终点bfs一遍找到那些点，之后不予计算。

然后再从起点开始做dij。当前状态可以这样表示：< u,minn >，其中u为当前点，minn为当前走过的路径上权值的最小值。我们优先选minn小的，这样是最优的（因为dij的正确性）。因为现在每个点都可以到达终点，所以我们可以在松弛的过程中更新答案，然后输出即可。

代码：

[code]#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int size=1000010;
const int INF=233333333;
int head[size],nxt[size],tot=0,to[size];

int w[size];

void build(int f,int t)
{
    to[++tot]=t;
    nxt[tot]=head[f];
    head[f]=tot;
}

queue<int> que;

bool vis[size];

void bfs(int s)
{
    vis[s]=1;
    que.push(s);
    while(que.size())
    {
        int f=que.front(); que.pop();
        for(int i=head[f];i;i=nxt[i])
        {
            int v=to[i];
            if(vis[v]) continue;
            vis[v]=1;
            que.push(v);
        }
    }
}

struct Heap{
    int u,minn;
    Heap(int u=0,int minn=0)
    {
        this->u=u;
        this->minn=minn;
    }
};

bool operator <(Heap a,Heap b)
{
    return a.minn>b.minn;
}

priority_queue<Heap> q;

bool use[size];
int dist[size];
int n,m;
int dij(int s)
{
    for(int i=1;i<=n;i++) 
            dist[i]=-INF;
    int ans=0;
    q.push(Heap(s,w[s]));
    while(q.size())
    {
        Heap f=q.top(); q.pop();
        if(use[f.u]) continue;
        use[f.u]=1;
        for(int i=head[f.u];i;i=nxt[i])
        {
            int v=to[i];
            if(dist[v]<w[v]-f.minn&&vis[v])
            {
                dist[v]=w[v]-f.minn;
                ans=max(ans,dist[v]);
                q.push(Heap(v,min(f.minn,w[v])));
            }
        }
    }
    return ans;
}

void init()
{
    memset(nxt,0,sizeof(nxt));
    memset(head,0,sizeof(head));
    memset(to,0,sizeof(to));
    tot=0;
}

int ff[size],tt[size],ss[size];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&w[i]);
    }

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&ff[i],&tt[i],&ss[i]);
        if(ss[i]==2) build(ff[i],tt[i]),build(tt[i],ff[i]);
        else build(tt[i],ff[i]);
    }

    bfs(n);

    init(); 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(ss[i]==2) build(ff[i],tt[i]),build(tt[i],ff[i]);
        else build(ff[i],tt[i]);
    }   
    printf("%d",dij(1));

    return 0;
}
/*

4 3
1 100 1 1
1 2 1
1 3 2
3 4 2

4 4
100 1 1 1
1 2 1
1 3 1
2 4 1
3 4 1

6 6
100 64 47 50 57 1
1 2 1
2 3 1
1 3 1
1 4 1
1 5 1
5 6 1
*/