算法导论13章红黑树 思考题总结

13-1 （持久动态集合） 有时在算法的执行过程中我们会发现在更新一个动态集合时，需要维护其过去的版本。我们称这样的集合为持久的(persistent)。实现持久集合的一种方法是每当改集合被修改时，就将其完整地复制下来，但是这种方法会降低一个程序的执行速度，而且占用过多的空间。有时候，我们可以做得更好些。

考虑一个有 INSERT、DELETE和SEARCH操作的持久集合 S，我们使用如图13-8(a)所示的二叉搜索树来实现。对集合的每一个版本都维护一个不同的根。为了将关键字 5 插入到集合中，创建一个具有关键字 5 的新结点。该结点成为具有关键字 7 的新结点的左孩子，因为我们不能更改具有关键字 7 的已存在结点。类似地，具有关键字 7 的新结点成为具有关键字 8 的新结点的左孩子，后者的右孩子成为具有关键字 10
的已存在结点。关键字为 8 的新结点又成为关键字为 4 的新根结点 r' 的右孩子，而 r' 的左孩子是关键字为 3 的已存在结点。这样，我们只是复制了树的一部分，新树共享了原树的一些结点，如图13-8(b)所示。

假设树中每个结点都有属性 key、left 和 right，但没有属性parent。

a. 对于一课一般的持久二叉搜索树，为插入一个关键字 k 或删除一个结点 y，需要改变那些结点。

ANSWER：

插入：需要修改插入路径上的每一个结点。

删除：① 若 z 有不多于一个儿子，则 z 的所有祖先都需要修改。

② 若 z 有两个儿子，则 z 的后继 y 会移动到 z 的位置，所以 y 和 z 的祖先均需修改。（特别地，若 z 是 y 的祖先，上面的说法也成立。）

b.请写出一个过程 PERSISTENT-TREE-INSERT，使得在给定一棵持久树 T 和一个要插入的关键字 k 时，它返回将 k 插入 T 后得到的新的持久树 T'。

ANSWER：

<span style="font-size:18px;">伪代码
PERSISTENT-TREE-INSERT(root, k):
if root == NIL:
newr = make-new-node(k)
else:
newr = copy-node(root)
if k.key < z.key:
newr.left = make-new-node(newr.left, k)
else:
newr.right = make-new-node(newr.right, k)
return newr</span>

c. 如果持久二叉搜索树 T 的高度为 h，实现 PERSISTENT-TREE-INSERT 过程的时间和空间需求分别是多少？（空间需求与新分配的结点数成正比。）
ANSWER：时间和空间均为 O(h) 复杂度。

d. 假设在每个结点中增加一个父结点属性。这种情况下，PERSISTENT-TREE-INSERT 需要做一些额外的复制工作。证明：PERSISTENT-TREE-INSERT 的时间需求和空间需求为 Ω(n)，其中 n 为树中的结点个数。

AMSWER：因为插入过程，形成了新的根结点，所以根结点的子结点需指向新的父结点；然后对根结点的子树递归，亦然。所以需要对 n 个结点进行修改，所以时间和空间均为 Ω(n)。