算法导论22.4拓扑排序 练习总结

22.4-1 给出算法 TOPOLOGICAL-SORT 运行于图 22-8 上时所生成的结点次序。这里的所有假设和练习 22.3-2 一样。

ANSWER：






22.4-2 请给出一个线性时间的算法，算法的输入为一个有向无环图 G = (V, E) 以及两个结点 s 和 t，算法的输出是从结点 s 到结点 t 之间的简单路径的数量。例如，对于图 22-8 所示的有向无环图，从结点 p 到结点 v 一共有 4 条简单路径，分别是 pov、poryv、posryv 和 psryv。（本题仅要求计数简单路径的条数，而不要求将简单路径本身列举出来。）

ANSWER：给结点附加一个计数属性time，初始化 t.time = 1，其它的 time 均为 0 ，以 s 为源结点进行 DFS，一旦搜索到 t，则 t 马上着黑色（即不继续搜索 t 的后代）。每当结束一个结点的搜索，则该结点的 time 属性 = 该结点所指向的所有结点的 time 之和。最后 s.time 即路径条数。

如图 22-8 的 p 到 v，最后 v.time = 1, y.time = 1, r.time = 1, s.time = 1, o.time = 1, p.time。

22.4-3 给出一个算法来判断给定无向图 G = (V, E) 是否包含一个环路。算法运行时间应该在 O(V) 数量级，且与 |E| 无关。

ANSWER：利用DFS搜索无向图 G，如果搜索过程发现与某一结点相连的结点部位白色，则无向图 G 中存在环。即若图中出现后向边，则出现环。

对于时间复杂度，可以证明若无向图 G 无环，则 |E| < |V|，所以时间复杂度为 O(V)。

22.4-4 证明或反证下述论断：如果有向图 G 包含环路，则在算法 TOPOLOGICAL-SORT(G) 所生成的结点序列里，图 G 中与所生成序列不一致的“坏”边的条数最少。

ANSWER：

22.4-5 在有向无环图 G =(V, E) 上执行拓扑排序还有一种办法，就是重复寻找入度为 0 的结点，输出该结点，将该结点及从其发出的边从图中删除。请解释如何在 O(V+E) 的时间内实现这种思想。如果图 G 包含环路，将会发生什么情况？

ANSWER：首先利用DFS在O(V+E)时间内记录每个结点的入度。然后在每次删除结点后更新每个结点的入度。删除结点时间为O(V)，更新结点入度时间为O(E)，所以总时间为O(V+E)。

如果图G包含环路，环路中的结点的入度会均大于0，都无法删除。