二分法和牛顿迭代法求平方根(Python实现)

求一个数的平方根函数sqrt(int num) ,在大多数语言中都提供实现。那么要求一个数的平方根，是怎么实现的呢？

实际上求平方根的算法方法主要有两种：二分法(binary search)和牛顿迭代法(Newton iteration)

1：二分法

求根号5

a:折半： 5/2=2.5

b:平方校验: 2.5*2.5=6.25>5，并且得到当前上限2.5

c:再次向下折半:2.5/2=1.25

d:平方校验：1.25*1.25=1.5625<5,得到当前下限1.25

e:再次折半:2.5-(2.5-1.25)/2=1.875

f:平方校验：1.875*1.875=3.515625<5,得到当前下限1.875

每次得到当前值和5进行比较，并且记下下下限和上限，依次迭代，逐渐逼近平方根：

import math
from math import sqrt

def sqrt_binary(num):
x=sqrt(num)
y=num/2.0
low=0.0
up=num*1.0
count=1
while abs(y-x)>0.00000001:
print count,y
count+=1
if (y*y>num):
up=y
y=low+(y-low)/2
else:
low=y
y=up-(up-y)/2
return y

print(sqrt_binary(5))
print(sqrt(5))

运行结果：

1 2.5

2 1.25

3 1.875

4 2.1875

5 2.34375

6 2.265625

7 2.2265625

8 2.24609375

9 2.236328125

10 2.2314453125

11 2.23388671875

12 2.23510742188

13 2.23571777344

14 2.23602294922

15 2.23617553711

16 2.23609924316

17 2.23606109619

18 2.23608016968

19 2.23607063293

20 2.23606586456

21 2.23606824875

22 2.23606705666

23 2.2360676527

24 2.23606795073

25 2.23606809974

26 2.23606802523

27 2.23606798798

2.23606796935

2.2360679775

[Finished in 0.1s]

经过27次二分法迭代，得到的值和系统sqrt()差别在0.00000001，精度在亿分之一，

0.001需要迭代8次

因此，在对精度要求不高的情况下，二分法也算比较高效的算法。

2：牛顿迭代

仔细思考一下就能发现，我们需要解决的问题可以简单化理解。
从函数意义上理解：我们是要求函数f(x) = x²，使f(x) = num的近似解，即x² - num = 0的近似解。
从几何意义上理解：我们是要求抛物线g(x) = x² - num与x轴交点（g(x) = 0）最接近的点。

我们假设g(x0)=0，即x0是正解，那么我们要做的就是让近似解x不断逼近x0，这是函数导数的定义：



可以由此得到



从几何图形上看，因为导数是切线，通过不断迭代，导数与x轴的交点会不断逼近x0。



对于一般情况：



将m=2代入：

def sqrt_newton(num):
x=sqrt(num)
y=num/2.0
count=1
while abs(y-x)>0.00000001:
print count,y
count+=1
y=((y*1.0)+(1.0*num)/y)/2.0000
return y

print(sqrt_newton(5))
print(sqrt(5))

运行结果：

1 2.5

2 2.25

3 2.23611111111

2.23606797792

2.2360679775

精确到亿分之一，牛顿法只迭代了3次，是二分法的十倍

3：利用牛顿法求开立方

def cube_newton(num):
x=num/3.0
y=0
count=1
while abs(x-y)>0.00000001:
print count,x
count+=1
y=x
x=(2.0/3.0)*x+(num*1.0)/(x*x*3.0)
return x

print(cube_newton(27))

微积分、概率、线代是高级算法的基础课。可是，这么多年，已经忘得差不多了..............................