高斯消元 【模板】

根据kuangbin神牛模板写的，改了一些。

bin神链接：kuangbin

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define MAXN 100
using namespace std;
int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
int free_rec[MAXN];//依次记录自由变元 编号从0 - var-k-1
int gcd(int a, int b){
return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}
int lcm(int a, int b){
return a / gcd(a, b) * b;
}
int equ, var;//方程数 变元数
int Gauss()
{
int max_r;//记录当前列 绝对值最大的行号
int col = 0;//当前处理的列
int k;
int num = 0;//自由变元在free_rec里面的编号
//将增广矩阵 转变为 阶梯矩阵
for(k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
{
/***列主消元法***/
/*找到第col列 绝对值最大的行i(i > k)*/
max_r = k;
for(int i = k+1; i < equ; i++)
if(abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
max_r = i;
if(max_r != k)//找到——从当前处理的列开始 交换k和max_r两行
for(int i = col; i < var+1; i++)//bin神模板 这里貌似错了
swap(a[max_r][i], a[k][i]);
if(a[k][col] == 0)//第col列在第k行下面全是0，处理下一列
{
k--;
free_rec[num++] = col;//记录自由变元
continue;
}
/***加减消元***/
for(int i = k+1; i < equ; i++)
{
if(a[i][col] != 0)
{
/*避免浮点数出现的处理*/
/*如果不在乎浮点数的出现，直接减就可以了*/
int LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
int ta = LCM / abs(a[i][col]);
int tb = LCM / abs(a[k][col]);
if(a[i][col] * a[k][col] < 0)
tb = -tb;//异号
for(int j = col; j < var+1; j++)
a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
}
}
}
for(int i = 0; i < var; i++)
free_x[i] = true;//初始化所有变元都是不确定的
int free_x_num;//记录每行自由变元数目
int free_index;//记录每行唯一自由变元的下标
int temp;
/***分析解的情况***/
// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
for(int i = k; i < equ; i++)
if(a[i][col] != 0)
return -1;
// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行
//说明没有形成严格的上三角阵.出现的行数即为自由变元的个数且这样的行只出现在k~equ.
if(k < var)
{
//自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
for(int i = k-1; i >= 0; i--)
{
free_x_num = 0;//用于判断该行中不确定变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
for(int j = 0; j < var; j++)
if(a[i][j] != 0 && free_x[j])
free_x_num++, free_index = j;
if(free_x_num > 1) continue;//不能求解
//说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
temp = a[i][var];
//求解该行唯一变元free_index
for(int j = 0; j < var; j++)
if(a[i][j] != 0 && j != free_index)
temp -= a[i][j] * x[j];
x[free_index] = temp / a[i][free_index];//求出该变元
free_x[free_index] = 0;//该变元是确定的
}
return var - k;//返回自由变元数目
}
//3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
//回代求出所有解
for(int i = var-1; i >= 0; i--)
{
temp = a[i][var];
for(int j = i+1; j < var; j++)
if(a[i][j] != 0)
temp -= a[i][j] * x[j];
if (temp % a[i][i] != 0)
return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}
int main()
{
//init_a();//构建增广矩阵a
int free_num = Gauss();//高斯消元
if(free_num == -1)
printf("无解!\n");
else if(free_num == -2)
printf("有浮点数解，无整数解!\n");
else if(free_num > 0)
{
printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
for(int i = 0; i < var; i++)
{
if(free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
else
{
printf("唯一解！\n");
for(int i = 0; i < var; i++)
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}