复数乘法是什么？

逛木虫的时候看到一个很旧的数学帖子被人挖了坟，这个帖子大概是讨论如果把复数看作是向量，那么复数乘法应该怎么看待？向量之间有乘法？例如复数$(1+i)$和复数$i$，其对应的向量分别是$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right]$和$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]$，那么两个向量怎么运算才能得到复数$-1+i$对应的向量$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -1\\ 1 \end{array}} \right]$呢？

事实上，我认为只把复数看作是向量是不够的！既然把复数看作向量，那么我们也应该讨论（线性）变换，这是make sense的。因此，如果我们把向量也看作是线性变换，那么结果就是trivial的了！

我们知道，每个非零复数都具有指数形式（exponential form）：$z = r{e^{i\theta }}$。而${e^{i\theta }}$是一个“旋转变换”，即把一个向量顺时针旋转$\theta$角度，在线性代数的角度看来，其对应的线性变换是$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\
{\sin \theta }&{\cos \theta }
\end{array}} \right].$因此，每一个复数都可以唯一地对应于一个线性变换：$$z = r{e^{i\theta }} \sim r\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\
{\sin \theta }&{\cos \theta }
\end{array}} \right].$$ 于是，复数乘法$z_1 * z_2$我们就可以把复数$z_1$看作是线性变换$T$，而复数$z_2$看作是其对应的向量$v$，就有$$z_1 * z_2 \sim T v.$$最后我们把向量$T v$再对应回复数域即可。

Example. 计算复数乘法$(1+i)*i$。

首先我们容易知道$1 + i = \sqrt 2 {e^{i\frac{\pi }{4}}} \sim \sqrt 2 \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \frac{\pi }{4}}&{ - \sin \frac{\pi }{4}}\\
{\sin \frac{\pi }{4}}&{\cos \frac{\pi }{4}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right]$，并且 $i \sim \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1
\end{array}} \right]$，则$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1
\end{array}} \right] \sim -1 + i$。因此$\left( {1 + i} \right)i = - 1 + i$。