hdu1573 X问题（中国剩余定理）

X问题

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Problem Description
求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

Input
输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

Output
对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

Sample Input

3
10 3
1 2 3
0 1 2
100 7
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
10000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sample Output

1
0
3

Author
lwg

Source
HDU 2007-1 Programming Contest

题意：中文题，意思不多说。
分析：

N ≡ a1(mod r1)

N ≡ a2(mod r2)

以两个为例，则x=a1+r1*x=a2+r2*y，根据后两者就可以建立方程 r1*x-r2*y=a2-a1，扩展欧几里德可解。

解出x之后 可知N=a1+r1+x，明显这是其中一组解，N+K*（r1*r2）/gcd都是解（每次加上最小公倍数）。

如果有多个，则两两求，新的式子可以写成N===（a1+r1*x）（mod (r1*r2)/gcd）。

最终解出一个答案为b1,循环为a1

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double eps = 1e-6;
const double pi = acos(-1.0);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1000000007;
#define ll long long
#define CL(a) memset(a,0,sizeof(a))

ll A[15],B[15];
ll ans,dg;

void exgcd(ll a, ll b, ll &d, ll&x, ll &y)
{
    if (!b) {d=a; x=1; y=0;}
    else
    {
        exgcd(b, a%b, d, y, x);
        y-=x*(a/b);
    }
}

ll gcd(ll a, ll b)
{
    if (!b) return a;
    else gcd(b, a%b);
}

ll china(ll n)
{
    ll a,b,d,x,y,dm;
    ll c,c1,c2;
    a=A[0]; c1=B[0];
    for (int i=1; i<n; i++)
    {
        b=A[i]; c2=B[i];
        exgcd(a, b, d, x, y);
        dm=b/d;
        c=c2-c1;
        if (c%d) return -1;
        x=((x*c/d)%dm+dm)%dm;//x可能为负
        c1=a*x+c1;
        a=a*b/d;
    }
    dg=a;//dg是最大公约数
    if (!c1)//考虑c1为0的情况
    {
        c1=1;
        for (int i=0; i<n; i++)
        {
            c1=c1*A[i]/gcd(c1, A[i]);
        }
        dg=c1;//此时dg为最小公倍数
    }
    return c1;//c1为最小的X
}

int main ()
{
    int T;
    ll N,M;
    cin>>T;
    while (T--)
    {
        cin>>N>>M;
        for (int i=0; i<M; i++) cin>>A[i];
        for (int i=0; i<M; i++) cin>>B[i];
        ans=china(M);
        //cout<<ans<<" "<<dg<<endl;
        if (ans==-1||ans>N)
            cout<<"0"<<endl;
        else
            cout<<(N-ans)/dg+1<<endl;
    }
    return 0;
}