大组合数：Lucas定理

最近碰到一题，问你求

mod (p1*p2*p3*……*pl) ,其中n和m数据范围是1~1e18 , l ≤10 , pi ≤ 1e5为不同的质数，并保证M=p1*p2*p3*……*pl ≤ 1e18 。

要解决这个问题首先需要Lucas定理 或者 C！解法。

Lucas定理：

我们令n=sp+q , m=tp+r . q ， r ≤ p

那么

，然后你只要继续对

调用Lucas定理即可。

代码可以递归的去完成这个过程，其中递归终点为t = 0 ；

伪代码,时间O（logp(n)*p)：

int Lucas (ll n , ll m , int p) {
return m == 0 ? 1 : 1ll*comb (n%p , m%p , p) * Lucas (n/p , m/p , p) %  p ;
}
//comb()函数中，因为q ， r ≤ p , 所以这部分暴力完成即可。

Lucas定理证明：

证明资料：http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/LucasTheorem.shtml

首先你需要这个算式:

，然后

(1 + x) nΞ (1 + x) sp+q Ξ ( (1 + x)p)s • (1 + x) q Ξ (1 + xp) s • (1 + x) q (mod p) ;


.

所以

，通过左右系数比较，你就会发现当i=t , j=r ，（及xtp+r的系数等式）

成立。

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5446

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll ;
const int M = 1e5 + 10 ;
ll n , m ;
int k ;
int prime[15] ;
int rem[15] ;

ll MM ;

int F[15] ;
//int Finv[15][M] , F[15][M] , inv[15][M] ;

ll mul (ll a , ll b , ll mod) {
ll tmp = 0 ;
while (b) {
if (b & 1) tmp = (1ll*tmp+a)%mod ;
b >>= 1 ;
a = (a+a)%mod ;
}
return tmp ;
}

int Fermat (ll a , int b) {
int ret = 1 ;
int mod = b ;
b -= 2 ;
while (b) {
if (b & 1) ret = mul(ret , a , mod) ;
b >>= 1 ;
a = mul(a , a , mod) ;
}
return ret ;
}

int fact (int n , int p) {
int ret = 1 ;
for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) ret = 1ll*ret*i%p ;
return ret ;
}

int comb (int n , int m , int p) {
if (m < 0 || m > n) return 0 ;
return 1ll* fact (n , p) * Fermat(fact (m , p) , p) * Fermat (fact(n-m , p) , p) % p ;
}

int Lucas (ll n , ll m , int p) {
return m == 0 ? 1 : 1ll*comb (n%p , m%p , p) * Lucas (n/p , m/p , p) %  p ;
}

void solve () {
MM = 1 ;
for (int i = 1 ; i <= k ; i ++) {
rem[i] = Lucas (n , m , prime[i]) ;
MM *= 1ll*prime[i] ;
//cout << "rem[i] = " << rem[i] << endl;
}
ll sum = 0 ;
for (int i = 1 ; i <= k ; i ++) {
ll tmp = MM/prime[i] ;
ll ans = mul (rem[i] , Fermat(tmp , prime[i]) , MM) ;
sum = (sum + mul (ans , tmp , MM) ) % MM ;
}
printf ("%I64d\n" , sum);
}

int main () {
int T ;
scanf ("%d" , &T) ;
while (T --) {
scanf ("%I64d%I64d%d\n" , &n , &m , &k) ;
for (int i = 1 ; i <= k ; i ++) {
scanf ("%d" , &prime[i]) ;
}
solve () ;
}
return 0 ;
}