POJ 2533 Longest Ordered Subsequence（DP最长上升子序列O（n^2）&&O(nlogn)）

先说一下简单的O(n^2)的算法：

dp[i]表示以a[i]结尾的最长上升子序列的长度。那么我们每次求dp[i]的时候都要扫一遍所有的a[j]<a[i]然后去dp[j]+1中的最大值，那么复杂度就是O(n^2)的了。

下面是代码

#pragma warning(disable:4996)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int a[1005];
int dp[1005];// dp[i]表示前i个数的以a[i]结尾的最长上升子序列长度

int main() {
//freopen("in.txt", "r", stdin);
int n; scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", a + i);
memset(dp, 0, sizeof dp);

int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++) {
if (a[i] > a[j]) {
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
ans = max(ans, dp[i]);
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}

O(nlogn)的算法是用dp[i]来表示最长上升子序列长度为i的结尾元素为dp[i]，
那么初始化dp[0]为-oo，其他dp值为+oo，注意这个题目的数据的数组中可能会出现0。

脑补一下就会知道dp的数组是非递减的数组，那么我们要想知道以a[i]结尾的最长上升子序列的长度，我们只需要在dp数组中二分找到a[i]应该在的位置我们就找到了长度。复杂度就成了O(nlogn)

#pragma warning(disable:4996)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int a[1005];
int dp[1005];// dp[i]表示长度为i的上升子序列是以dp[i]结尾的

int search(int target, int l, int r) {//找到dp[i]<target<=dp[i+1]并返回i
while (l < r) {
int mid = (l + r + 1) >> 1;
if (dp[mid] < target)l = mid;
else if (dp[mid] >= target)r = mid - 1;
}
return l;
}

int main() {
//freopen("in.txt", "r", stdin);
int n; scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", a + i);
memset(dp, 0x3f, sizeof dp);

dp[0] *= -1;
int len = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (a[i] > dp[len]) {
len++;
dp[len] = a[i];
}
else {
int cnt = search(a[i], 0, len);
dp[cnt + 1] = a[i];
}
}
printf("%d\n", len);
return 0;
}