POJ 3241 Object Clustering 平面曼哈顿最小生成树

题意：给出N个点的平面坐标，把它们划分为K个集合，在每个点集内建边，令点集连通，其中边权为曼哈顿距离，问所有边的最大边最小可能是多少。

范围：N<=10000 ，点集坐标范围 [1，500]

解法：如果K为1，即整个图的最小生成树中最大边。（这里利用了最小生成树的性质，即在所有联通图中，MST中的最大边是最小的，可以比较容易的反证得出）

那么K不为1，即可以从最小生成树种删除(K-1)条最大边，剩下边中的最大边即是答案。

曼哈顿最小生成树的建图有专门的方法可以让 N*（N-1）条边降低到 N条，然后直接求即可。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
template <class T>
bool scanff(T &ret){ //Faster Input
    char c; int sgn; T bit=0.1;
    if(c=getchar(),c==EOF) return 0;
    while(c!='-'&&c!='.'&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();
    sgn=(c=='-')?-1:1;
    ret=(c=='-')?0:(c-'0');
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') ret=ret*10+(c-'0');
    if(c==' '||c=='\n'){ ret*=sgn; return 1; }
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') ret+=(c-'0')*bit,bit/=10;
    ret*=sgn;
    return 1;
}
#define inf 1073741823
#define llinf 4611686018427387903LL
#define PI acos(-1.0)
#define lth (th<<1)
#define rth (th<<1|1)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define drep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define gson(i,root) for(int i=ptx[root];~i;i=ed[i].next)
#define tdata int testnum;scanff(testnum);for(int cas=1;cas<=testnum;cas++)
#define mem(x,val) memset(x,val,sizeof(x))
#define mkp(a,b) make_pair(a,b)
#define findx(x) lower_bound(b+1,b+1+bn,x)-b
#define pb(x) push_back(x)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int NN =100100;

int n,m,k,b[NN],bn,dn;//b[]用于y-x的离散化
struct point{
    int x,y,idx;
    bool operator < (const point temp)const{//x从小往大排，相同时y从小至大
        if(x!=temp.x)return x<temp.x;
        else return y<temp.y;
    }
}a[NN],c[NN];//a[]记录的是原数据，c[]是旋转后的坐标

struct node{
    int val,idx; //val为最小的x+y，idx为最小值所在的a[]的下标
}t[1080000];
void built(){
    for(m=1;m<bn+2;m<<=1);
    rep(i,1,m*2)t[i].val=inf;
}
void add(int x,int y,int idx){ //线段树维护新增点
    int pos=findx(y-x);
    int val=x+y;
    for(int i=pos+m;i>0;i>>=1){
        if(val<t[i].val){
            t[i].val=val;
            t[i].idx=idx;
        }
    }
}
int query(int x,int y){ //返回符合要求的最小的x+y的idx
    int l=findx(y-x);
    int r=m-1;
    int ans=inf,idx=0;
    for(l=l+m-1,r=r+m+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1){
        if(~l&1)if(t[l^1].val<ans)ans=t[l^1].val,idx=t[l^1].idx;
        if(r&1) if(t[r^1].val<ans)ans=t[r^1].val,idx=t[r^1].idx;
    }
    return idx;
}

int f[NN]; //并查集用于求解MST
int find(int x){
    return f[x]==x?x:find(f[x]=f[f[x]]);
}
int connec(int x,int y){
    int i=find(x);
    int j=find(y);
    if(i==j)return 0;
    f[i]=j;
    return 1;
}

struct line{
    int x,y,dis;
    void caldis(){
        dis=abs(a[x].x-a[y].x)+abs(a[x].y-a[y].y);
    }
}d[NN*8];

bool cmpd(line x,line y){
    return x.dis<y.dis;
}
ll solve(){
    dn=0;
    rep(i,1,n)c[i]=a[i]; //做一下原数组的copy，因为坐标转换后会改变，需用原数组求距离
    rep(fx,1,4){
        rep(i,1,n){//进行对称操作，让现在所求的R1实际上是R2-R4
            if(fx==2||fx==4)swap(c[i].x,c[i].y);
            if(fx==3)c[i].x=-c[i].x;
        }
        //离散化y-x
        bn=0;
        rep(i,1,n)b[++bn]=c[i].y-c[i].x;
        sort(b+1,b+1+bn);
        bn=unique(b+1,b+1+bn)-b-1;
        //对点集排序
        sort(c+1,c+1+n);
        built();
        drep(i,n,1){//X自大到小遍历点，保证线段树内的横坐标满足条件
            int x=c[i].idx;
            int y=query(c[i].x,c[i].y);//询问线段树得到idx
            if(y!=0){
                dn++;
                d[dn].x=x;
                d[dn].y=y;
                d[dn].caldis();
            }
            add(c[i].x,c[i].y,c[i].idx);//添加此点进线段树
            //此语句放query之后，很重要！
        }
    }
    //求解MST
    sort(d+1,d+1+dn,cmpd);
    rep(i,1,n)f[i]=i;
    int cot=0;
    rep(i,1,dn){
        if(connec(d[i].x,d[i].y)){
            cot++;
            if(cot==n-k)return d[i].dis;
        }
    }
    return 0;
}
int main(){
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF){
        rep(i,1,n)scanff(a[i].x),scanff(a[i].y),a[i].idx=i;
        printf("%d\n",solve());
    }
    return 0;
}