[LeetCode]题解(python):004-Median of Two Sorted Arrays
2015-09-07 17:21
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题目来源:
https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/题意分析:
这道题目是输入两个已经排好序的数组(长度为m,n),将这两个数组整合成一个数组,输出新数组的中位数。要求时间复杂度是(log(m + n)。比如如果输入[1,2,3],[3,4,5]。那么得到的新数组为[1,2,3,3,4,5]得到的中位数就是3.题目思路:
由于题目要求的时间复杂度是(log(m+n)),如果我们直接把两个数组整合一起,那么时间复杂度肯定超过(log(m+n))。所以整理肯定是不行的。那么还有什么方法吗?答案是肯定的。首先我们要先了解中位数的概念,中位数就是有序数组的中间那个数。那么如果我们将比中位数小的数和比中位数大的数去掉同样的个数,中位数的值也不会变化(数组的个数为偶数的时候另外讨论,因为那时候中位数是中间两个数的平均值,所以中位数旁边两个数不能去掉)。
所以我们不妨试着将数组长度不断缩短。这里不妨提出一个引理。假设有两个有序数组am,bn,他们整合后的有序数组为cn+m。他们的中位数分别是am/2,bn/2,c(m+n)/2。如果am/2 < bn/2,则 a0…m/2 <= c(m+n)/2 <= bn/2…n 。
引理证明:
假设 am/2 > c(m+n)/2 ,那么 bn/2 > c(m+n)/2,所以在数组am里有大于m/2个数大于c(m+n)/2,在数组bn里也有n/2个数大于c(m+n)/2
也就是说在cn+m里有(m+n)/2个数大于c(m+n)/2,此时就c(m+n)/2不再是数组cn+m的中位数。
所以a0…m/2 <= c(m+n)/2。
同理可得c(m+n)/2 <= bn/2…n 。
根据上述引理,我们不妨设m>n,那么我们根据判断两个数组的中位数大小,每个数组每次减少n/2长度,直到n为1。如此,我们通过减少log(n)次可以得到答案。这种方法的时间复杂度是(log(min(m,n)))。
代码(python):
class Solution(object): def getMedian(self,nums): size = len(nums) if size == 0: return [0,0] if size % 2 == 1: return [nums[size // 2],size // 2] return [(float(nums[size // 2 - 1] + nums[size // 2])) / 2,size // 2] def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2): """ :type nums1: List[int] :type nums2: List[int] :rtype: float """ size1 = len(nums1) size2 = len(nums2) if size1 < size2: return self.findMedianSortedArrays(nums2,nums1) m1 = self.getMedian(nums1) m2 = self.getMedian(nums2) if size2 == 0: return m1[0] if size2 == 1: if size1 == 1: return (float(nums1[0] + nums2[0])) / 2 if size1 % 2 == 0: if nums2[0] < nums1[size1 //2 - 1]: return nums1[size1 // 2 - 1] if nums2[0] > nums1[size1 // 2 ]: return nums1[size1 // 2] else: return nums2[0] else: if nums2[0] < nums1[size1 // 2 - 1]: return (float(nums1[size1 // 2 - 1] + nums1[size1 // 2])) / 2 if nums2[0] > nums1[size1 // 2 + 1]: return (float(nums1[size1 // 2] + nums1[size1 // 2 + 1])) / 2 else: return (float(nums2[0] + nums1[size1 // 2])) / 2 if size2 % 2 == 0: if size1 % 2 == 0: if nums2[size2 // 2 - 1] < nums1[size1 //2 - 1] and nums2[size2 // 2] > nums1[size1 // 2]: return m1[0] if nums1[size1 // 2 - 1] < nums2[size2 // 2 - 1] and nums1[size1 // 2] > nums2[size2 // 2]: return m2[0] if m1[0] < m2[0]: return self.findMedianSortedArrays(nums1[m2[1]:],nums2[:size2 - m2[1]]) if m1[0] > m2[0]: return self.findMedianSortedArrays(nums1[:size1 - m2[1]],nums2[m2[1]:]) else: return m1[0]
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PS:当两个数组长度都是偶数的时候,由于中位数和中间两个数相关,如果直接删减有可能把中位数的数值发生改变,比如:[1,6],[4,5],这种情况如果用上述算法,那么先得到[1],[4]最后得到2.5,然后最后答案应该是4.5,所以这种情况要另外讨论。
还有,用python3.0要注意语法的不同,因为判断系统是用2.7的算法。3.0的’/’默认是浮点数,而在‘2.7’如果原来是整型的时候是整除。
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