codeforces 484 B Maximum Value 排序+二分 + 数学

链接：http://codeforces.com/contest/484/problem/B

题意：给定长度为n的序列，要求序列中 ai % aj 最大的值是多少。

思路：

给定的n为10510^5，直接暴力O(n2)O(n^2)肯定是不行的。

首先可以明确，aj如果越大的话，那么取模后的值就可能越大，因为取模后只能在0~aj -1 这些数之中了。

又因为在这道题中，序列的顺序并没有用，所以考虑进行排序，从小到大，然后从大的开始取。

对于同一个aj的话要使取模后的数尽可能的大的话，ai应该是出现在小于aj的某个倍数的第一个数。那么我们就可以在序列中二分查找大于等于 aj k倍的数，以及小于k+1 倍 的第一个数。（查找k倍，防止少了模为0的情况）

确定算法，从大到小枚举序列中的元素，从一倍开始，每次都二分查找。如果已经在这个序列中找不到大于等于 k * aj 的数，那么就停止，枚举下一个元素。但是发现这样可能会超时，因为如果这个序列中只有很少的元素，但是这些数直接差距非常大，比如1 100000 ，那么这样枚举倍数的话就一定会枚举到100000上，但是会发现从2~100000找到的都是100000这个数，都是重复的。

所以考虑直接用迭代这个倍数，如果找到第一个大于等于k*aj的数 ap，那么将 j 变为ap/aj + 1，防止下次又找到ap这个数。

[code]#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define M 1000009
#define INF 0x3f3f3f3f
int a[M];
int n;
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        for(int i = 0;i< n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        sort(a,a+n);
        int ans = -INF;
        for(int i = n-1;i >= 0;i--)
        {
            for(int j = 1;;)
            {
                int p = lower_bound(a+i,a+n,j*a[i]) - a;
                int q = lower_bound(a+i,a+n,(j+1)*a[i]) - a - 1;
                if(p == n) break;
                ans = max(a[p]%a[i],ans);
                ans = max(a[q]%a[i],ans);
                j = a[p] / a[i] + 1;
                //直接迭代到有用的倍数上，避免出现 1 1000 这样无用循环太多的情况
            }
            if(ans > a[i]) break;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}