Strassen矩阵乘法

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Strassen矩阵乘法是通过递归实现的，它将一般情况下二阶矩阵乘法（可扩展到ｎ阶，但Strassen矩阵乘法要求ｎ是２的幂）所需的8次乘法降低为7次，将计算时间从O(nE3)降低为O(nE2.81)。

矩阵C = AB，可写为

C11 = A11B11 + A12B21

C12 = A11B12 + A12B22

C21 = A21B11 + A22B21

C22 = A21B12 + A22B22

如果Ａ、Ｂ、Ｃ都是二阶矩阵，则共需要８次乘法和４次加法。如果阶大于２，可以将矩阵分块进行计算。耗费的时间是O(nE3)。

要改进算法计算时间的复杂度，必须减少乘法运算次数。按分治法的思想，Strassen提出一种新的方法，用７次乘法完成２阶矩阵的乘法，算法如下：

M1 = A11(B12 - B12)

M2 = (A11 + A12)B22

M3 = (A21 + A22)B11

M4 = A22(B21 - B11)

M5 = (A11 + A22)(B11 + B22)

M6 = (A12 - A22)(B21 + B22)

M7 = (A11 - A21)(B11 + B12)

完成了７次乘法，再做如下加法：

C11 = M5 + M4 - M2 + M6

C12 = M1 + M2

C21 = M3 + M4

C22 = M5 + M1 - M3 - M7

全部计算使用了７次乘法和１８次加减法，计算时间降低到O(nE2.81)。计算复杂性得到较大改进。

附Strassen矩阵乘法代码：

//STRASSEN矩阵乘法算法

#include <iostream.h>

const int N=4; //常量N用来定义矩阵的大小

void main()
{
    void STRASSEN(int n,float A[]
,float B[]
,float C[]
);
    void input(int n,float p[]
);
    void output(int n,float C[]
);                    //函数声明部分

    float A

,B

,C

;  //定义三个矩阵A,B,C

    cout<<"现在录入矩阵A

:"<<endl<<endl;
    input(N,A);
    cout<<endl<<"现在录入矩阵B

:"<<endl<<endl;
    input(N,B);                         //录入数组

    STRASSEN(N,A,B,C);   //调用STRASSEN函数计算

    output(N,C);  //输出计算结果
}

void input(int n,float p[]
)  //矩阵输入函数
{
    int i,j;

    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cout<<"请输入第"<<i+1<<"行"<<endl;
        for(j=0;j<n;j++)
            cin>>p[i][j];
    }
}

void output(int n,float C[]
) //据矩阵输出函数
{
    int i,j;
    cout<<"输出矩阵:"<<endl;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cout<<endl;
        for(j=0;j<n;j++)
            cout<<C[i][j]<<"  ";
    }
    cout<<endl<<endl;

}

void MATRIX_MULTIPLY(float A[]
,float B[]
,float C[]
)  //按通常的矩阵乘法计算C=AB的子算法(仅做2阶)
{
    int i,j,t;
    for(i=0;i<2;i++)                     //计算A*B-->C
        for(j=0;j<2;j++)
        {    
            C[i][j]=0;                   //计算完一个C[i][j]，C[i][j]应重新赋值为零
            for(t=0;t<2;t++)
            C[i][j]=C[i][j]+A[i][t]*B[t][j];
        }
}

void MATRIX_ADD(int n,float X[]
,float Y[]
,float Z[]
) //矩阵加法函数X+Y—>Z
{
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
            Z[i][j]=X[i][j]+Y[i][j];
}

void MATRIX_SUB(int n,float X[]
,float Y[]
,float Z[]
) //矩阵减法函数X-Y—>Z
{
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
            Z[i][j]=X[i][j]-Y[i][j];

}

void STRASSEN(int n,float A[]
,float B[]
,float C[]
)  //STRASSEN函数（递归）
{
    float A11

,A12

,A21

,A22

;
    float B11

,B12

,B21

,B22

;
    float C11

,C12

,C21

,C22

;
    float M1

,M2

,M3

,M4

,M5

,M6

,M7

;
    float AA

,BB

,MM1

,MM2

;

    int i,j;//,x;

    if (n==2)
        MATRIX_MULTIPLY(A,B,C);//按通常的矩阵乘法计算C=AB的子算法(仅做2阶)
    else
    {
        for(i=0;i<n/2;i++)              
            for(j=0;j<n/2;j++)

                {
                    A11[i][j]=A[i][j];
                    A12[i][j]=A[i][j+n/2];
                    A21[i][j]=A[i+n/2][j];
                    A22[i][j]=A[i+n/2][j+n/2];
                    B11[i][j]=B[i][j];
                    B12[i][j]=B[i][j+n/2];
                    B21[i][j]=B[i+n/2][j];
                    B22[i][j]=B[i+n/2][j+n/2];
                }       //将矩阵A和B式分为四块

    MATRIX_SUB(n/2,B12,B22,BB);          
    STRASSEN(n/2,A11,BB,M1);//M1=A11(B12-B22)

    MATRIX_ADD(n/2,A11,A12,AA);
    STRASSEN(n/2,AA,B22,M2);//M2=(A11+A12)B22

    MATRIX_ADD(n/2,A21,A22,AA);
    STRASSEN(n/2,AA,B11,M3);//M3=(A21+A22)B11

    MATRIX_SUB(n/2,B21,B11,BB);
    STRASSEN(n/2,A22,BB,M4);//M4=A22(B21-B11)

    MATRIX_ADD(n/2,A11,A22,AA);
    MATRIX_ADD(n/2,B11,B22,BB);
    STRASSEN(n/2,AA,BB,M5);//M5=(A11+A22)(B11+B22)

    MATRIX_SUB(n/2,A12,A22,AA);
    MATRIX_SUB(n/2,B21,B22,BB);
    STRASSEN(n/2,AA,BB,M6);//M6=(A12-A22)(B21+B22)

    MATRIX_SUB(n/2,A11,A21,AA);
    MATRIX_SUB(n/2,B11,B12,BB);
    STRASSEN(n/2,AA,BB,M7);//M7=(A11-A21)(B11+B12)
    //计算M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7（递归部分）

    MATRIX_ADD(N/2,M5,M4,MM1);                
    MATRIX_SUB(N/2,M2,M6,MM2);
    MATRIX_SUB(N/2,MM1,MM2,C11);//C11=M5+M4-M2+M6

    MATRIX_ADD(N/2,M1,M2,C12);//C12=M1+M2

    MATRIX_ADD(N/2,M3,M4,C21);//C21=M3+M4

    MATRIX_ADD(N/2,M5,M1,MM1);
    MATRIX_ADD(N/2,M3,M7,MM2);
    MATRIX_SUB(N/2,MM1,MM2,C22);//C22=M5+M1-M3-M7

    for(i=0;i<n/2;i++)
        for(j=0;j<n/2;j++)
        {
            C[i][j]=C11[i][j];
            C[i][j+n/2]=C12[i][j];
            C[i+n/2][j]=C21[i][j];
            C[i+n/2][j+n/2]=C22[i][j];
        }                                            //计算结果送回C

    }

}